對一道幾何題的解法探究及思考

丁堅鋒

[摘 要] 幾何動態中的最值問題是初中生較難解決的一類問題，本文通過對一道試題多種解法的探究，讓學生從多個角度去認識問題，洞悉問題的本質，使學生突破思維障礙，開闊思路，激發學習數學的興趣.

[關鍵詞] 幾何動態；最值；解法探究

試題呈現

（2016年江陰市某校月考卷第18題）如圖，Rt△ABC中，AB=AC=4，D為BC中點，E是線段AD上任意一點，將線段EC繞著點E順時針方向旋轉90°，得到線段EF，連接DF，則DF的最小值是______.

解法探究

1. 利用旋轉找相似關系

解法1：如圖2，連接CF，BF，延長BF、AD交于點G.

因為線段EC繞著點E順時針方向旋轉90°后得到線段EF，所以∠ECF=∠EFC=45°.

由Rt△ABC中AB=AC=4，得∠ABC=∠ACB=45°，所以∠ACE=∠BCF.

又因為，所以△BCF∽△ACE，則∠CBF=∠CAE=45°.

當點E運動至點A，點F與點B重合；當點E運動至點D，點F與點G重合，所以點F在線段BG上運動.

根據垂線段最短知，當DF⊥BG時，DF的值最小，易求得最小值為2.

2. 利用旋轉找全等關系

解法2：如圖3，延長AD至點H，使DH=CD，過點F作FG⊥AD，交AD延長線于點G.

易證△CDE≌△EGF，則FG=ED，EG=CD=DH，所以GH=DE=FG，故∠FHG=45°.

所以點F在線段BH上運動. （下同解法1）

解法3：如圖4，過點E作AC的垂線交AC于點G，過點F作FH⊥EG于點H，連接BH.

易證△CGE≌△EHF，則EH=CG. 由∠GAE=∠AEG=45°得EG=AG，所以HG=AC=AB.

又因為AB∥HG，所以可得四邊形ABHG是矩形，則有∠ABH=∠BHG=90°，故B，H，F共線，∠CBF=45°. （下同解法1）

解法4：如圖5，在CD上截取DG=DE，延長AD至點H，使DH=CD，連接EG，FH.

易證△CDE≌△HDG，則HG=CE=EF，∠DHG=∠DCE=∠FEH，所以EF∥HG，所以四邊形EFHG是平行四邊形，因而FH∥EG，故∠EHF=∠GED=45°. （下同解法1）

3. 利用函數描述點的運動軌跡

解法5：如圖6，以BC所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，建立直角坐標系，過點F作FG⊥AD，交AD延長線于點G.由△CDE≌△EGF知FG=ED，CD=EG.

設F（x，y），則DE=FG=-x，DG=-y，又DG=EG-DE=CD-DE=2+x，所以-y=2+x，即y=-x-2.所以點F在線段y=-x-2（-2≤x≤0）上運動. （下同解法1）

4. 利用軸對稱尋找數量關系

解法6：如圖7，連接BE，BF.

設∠DCE=α，∠ACE=β，由軸對稱性知∠EBC=α，∠ABE=β，則∠BEC=90°+2β，∠BEF=∠BEC-∠CEF=2β，∠EBF=90°-β，所以∠DBF=∠EBF-∠DBE=90°-β-α=45°. （下同解法1）

5. 構建函數求最值

解法7：如圖8，過點F作FG⊥AD，交AD延長線于點G.由△CDE≌△EGF知FG=ED，CD=EG.

設FG=x，則ED=x，DG=2-x，由FD2=FG2+DG2得FD2=2（x-）2+4，當x=時，FD的最小值為2.

評注 筆者將此題作為課外作業讓學生去完成，在學生的解法中出現了解法1、6、7，但用這三種方法解答的學生不多.有些學生是用畫圖的方法去猜點F的運動路徑. 可能是填空題的原因，不少學生沒有用合情推理或演繹推理的方法去認真思考和分析.

思考

1. 對問題的再思考

與此題類似的試題還有很多，如2012年北京卷第24題：在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉2α得到線段PQ.

（1）若α=60°且點P與點M重合（如圖9），線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補全圖形，并寫出∠CDB的度數；

（2）在圖10中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想∠CDB的大小（用含α的代數式表示），并加以證明；

（3）略.

這題可以看作是將上題中的90°角作一般化處理，但保留了圖形中的數量關系.不難發現當α確定，點P在運動過程中，點Q始終在一條直線上運動.

筆者通過對比，發現其中隱藏著一個本質的東西，從中提煉出一個數學模型：如圖11，點P是線段AB的垂直平分線CD上的一個動點，連接BP，將BP繞點P順時針旋轉α，則點Q一定是在經過點A的直線上運動，若點Q在直線AB下方，則∠BAQ=α；若點Q在直線AB上方，則∠BAQ=180°-α.

如圖12，連接AP，AQ，結合三角形內角和性質不難證明結論.如果我們重新回到已知，換個角度看問題，就會柳暗花明又一村. 如圖13、14，點A，B，Q到點P的距離相等，所以這三個點在同一個圓上，點P是圓心. 由圓周角的性質分別可以得出∠BAQ=∠BPQ=α和∠BAQ=（360°-∠BPQ）=180°-α，故點Q一定是在經過點A的直線上運動.這兩種方法具有一般性.

在教學過程中，教師可以引導學生通過試題的特征分析、對比、歸類，將所學的內容整理歸納出類型和方法，經過加工提煉出有指導價值與典型結構的數學模型，培養學生模型識別能力，讓學生積累良好的數學學習經驗.

2. 對解法的再思考

波利亞在《怎樣解題》一書中提到“尋找與你過去所獲知識之間的聯系，試著想想過去在類似情況下是什么幫助了你.試著在你考察的過程中認出一些你熟悉的東西，試著在你認清的東西中發現一些有用的東西.”這段話告訴我們如何尋求有用的解題思路.用框圖表示，如圖15.

例如問題中要求DF的最小值，就要思考點F的運動路徑是什么，或者DF的數量與什么有關，這個相關性可否用函數表示；經歷對已知條件的分析可以聯系到軸對稱和旋轉知識，聯想常見的旋轉構造全等和相似的方法，以及相關的基本圖形，如“一線三等角”模型.

此題信息豐富，在進行信息加工和整合過程中，要收集有益的信息，與要解決的問題進行關聯比對，甄別出有效的解題途徑.同時，還要特別注意關鍵性的信息，如圖形的軸對稱性和旋轉的性質.

3. 對解題教學的再思考

《義務教育數學課程標準》（2011版）中提出了10個數學核心素養，核心素養基于數學知識技能，又高于具體的數學知識技能. 核心素養反映數學本質與數學思想，是在數學學習過程中形成的，具有綜合性、階段性和持久性的特征.數學核心素養與數學課程的目標和內容直接相關，故教師要思考如何通過教材與教學，落實發展學生的數學核心素養，在對數學本質理解的基礎上，注重數學學科對學生的思維以及對其認識問題、解決問題思想方法上的影響.

解題訓練是提高學生思維能力，落實數學素養，形成數學智慧的主要途經.史寧中教授認為，教學不僅要教給學生知識，更要幫助學生形成智慧.因此解題教學應重視如何分析條件、處理信息、整合信息的教學，引導學生找到問題的本質，發現解題的捷徑.

一題多解作為一種有效的思維訓練方法，教師在進行教學時，要適時適量，要以揭示多解背后隱藏的數學思想和方法為側重點，讓學生在解題過程中經歷理解、內化、領悟的過程，逐步將數學活動經驗具象化，并形成思維方式.