關注作圖過程，性質提取破題

朱秀娟

[摘 要] 結合尺規作圖的幾何綜合題是初中的重點題型，是以操作探究的形式，培養學生實踐能力為命題出發點. 對于該類題型需要充分理解題干的信息，然后利用尺規準確作圖，同時關注該過程的幾何性質，并將其轉化為后續的解題條件.

[關鍵詞] 操作；尺規；幾何；性質；提取；思想

以學生熟悉的四邊形或三角形為背景，結合實踐操作的幾何綜合題在近幾年中考和結業考試中出現的頻次很多，該題型起點低、操作性強，具有層次性和多樣性，對于學生的動手操作和層次分析具有很好的考查作用，也是對“立足基礎，注重發展”教學理念的充分貫徹，對于該類典型問題的學習需要學生從實踐操作入手.

真題解析，試題點評

1. 真題呈現

（2017年山東濱州市中考第22題）如圖1所示，在？荀ABCD中，以點A為圓心，AB的長為半徑畫弧，交AD于點F；再分別以點B，F為圓心，大于BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF，則所得四邊形ABEF為菱形.

（1）根據以上描述用尺規作圖，（保留作圖痕跡），并求證四邊形ABEF為菱形；

（2）若菱形ABEF的周長為16，AE=4，求∠C的大小.

2. 試題解析

分析 （1）問考查動手操作和幾何證明，首先需要根據題干信息準確作圖，并把握作圖過程中所涉及的幾何性質，求證四邊形ABEF是菱形，首先需要考慮證明ABEF是平行四邊形，然后設法補充條件BE=AF即可.

（2）求∠C的大小，可根據四邊形ABCD為平行四邊形，將其轉化為求∠BAD，由于菱形的對角線平分一組對角，可先求出∠DAE的大小，進而求解∠C.

解答 （1）具體作圖過程如圖2，根據作圖過程可知AB=AF，AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠EAF. 因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以BC∥AD. 根據兩直線平行的性質可知∠AEB=∠EAF，所以∠BAE=∠AEB，AB=BE，BE=AF. 所以四邊形ABEF是平行四邊形，也為菱形.

（2）連接BF，如圖3，因為四邊形ABEF為菱形，∠BAE=∠EAF，所以OA=AE=2. 因為菱形ABEF的周長為16，所以AF=4，cos∠OAF=. 所以∠OAF=30°，∠BAF=60°. 所以∠C=∠BAD=60°.

3. 試題點評

本題目為涉及實踐操作的幾何題，主要考查學生基本作圖能力和幾何性質運用能力. 第一問需要根據題目所述信息進行繪圖，需要注意的是：要把握所構圖形中的等邊、等角關系，這對于接下來的菱形證明極為重要，第二問則是在圖形為菱形基礎上開展的角度證明，依據相關幾何性質即可求解. 所以涉及實踐操作的幾何綜合題，需要在精準作圖的基礎上關注作圖過程中的幾何性質，例如等角、等邊、平行、垂直等，然后結合性質進行推理論證.

試題銜接，思路剖析

涉及實踐操作的幾何綜合題是對基本圖形的深入挖掘，尺規作圖的過程實際上也是對幾何基本性質的探索過程，因此需要關注作圖的過程，注意從繁雜的幾何線條中捕捉基本圖形，提取幾何性質，將其作為后續解題的關鍵條件，從而實現問題的轉化求解.

試題1 （2016年四川達州中考卷第20題）如圖4所示，在？荀ABCD中，AD>AB.

（1）實踐與操作：作∠BAD的平分線交BC于點E，在AD上截取AF=AB，連接EF；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）猜想并證明：猜想四邊形ABEF的形狀，并給予證明.

分析 （1）根據角平分線的作法即可輕易作出，在AD上截取AF=AB，連接EF，繪出圖形即可；（2）根據平行四邊形的性質和角平分線可得∠BAE=∠AEB，可證EB=AB，由（1）知AF=AB，可得BE=AF，從而可判斷出四邊形ABEF為菱形.

解答 （1）具體作圖如圖5所示.

（2）因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC，∠DAE=∠AEB，AE平分∠BAD，∠BAE=∠DAE. 所以∠BAE=∠AEB. 所以EB=AB. 由（1）得AF=AB，所以BE=AF. 結合BE∥AF，所以四邊形ABEF是平行四邊形，因AF=AB，所以四邊形ABEF是菱形.

試題2 （2017年北京東城區八年級期末卷）如圖6所示，在△ABC中，∠A的外角平分線交BC的延長線于點D.

（1）線段BC的垂直平分線交DA的延長線于點P，連接PB，PC.

①利用尺規作圖補全圖形，不寫作法，保留作圖痕跡；

②求證：∠BPC=∠BAC.

（2）略.

分析 （1）①補全圖形，利用尺規作BC的垂直平分線，延長DA，與其相交于點P；②求證∠BPC=∠BAC，可將其放置在△ACG和△BPG中，只需證明∠PBG=∠PCA即可. 截取AE上AF=AC，可證△PAC≌△PAF，然后利用三角形全等性質，以及垂直平分線角的性質來構建∠PBG=∠PCA.

解答 （1）①具體作圖痕跡如圖7.

②在AE上截取AF=AC，連接PF，如圖8，由AD平分∠CAE，可得∠CAD=∠FAD，進而可知∠CAP=∠FAP. 在△PAC和△PAF中，AP=AP，∠CAP=∠FAP，AF=AC， 可證△PAC≌△PAF（SAS），可得∠1=∠2，PF=PC，點P在BC的垂直平分線上，則PC=PB，所以PF=PB，可得∠1=∠3，所以∠2=∠3.在△ACG和△BPG中∠PGB=∠AGC，所以∠BPC=∠BAC.

上述題目均為幾何實踐操作的綜合題，解題過程均從尺規作圖開始，然后開展相關問題的探究，解題時都注意對作圖過程的性質提取. 試題1關注作圖過程中的角平分線，然后利用等角關系來探究圖形形狀；試題2則是把握垂直平分線上點的相關性質，然后結合該性質來轉化條件證明等角. 上述過程準確作圖是解題的前提，性質提取是解題的關鍵.

解后反思，教學思考

1. 關注尺規作圖，積累幾何性質

上述均為涉及實踐操作的幾何綜合題，題設部分條件通過文字表述、作圖指示的方式給出，對信息的精準理解、作圖過程的重點關注是解題的基礎. 因此在教學中要重視學生的作圖訓練，引導學生充分理解定理、命題的文字表述，結合實例讓學生體驗圖形推理的論證過程，對于作圖過程的幾何性質提取有必要開展針對性訓練，逐步幫助學生積累基本幾何性質，培養學生從繁雜圖形中提取信息的能力.

2. 自主探究問題，發展解題思維

知識的學習過程是活躍思維的過程，對于幾何題求解的關鍵在于信息的提取，例如上述操作題需要關注題干的有效信息，關注作圖過程的幾何性質以及構建基本圖形時的轉化，只有不斷地拓展解題思維，發現解題新的可能才能最終解決問題. 因此，教學中需要為學生提供一個有創造性、拓展性的學習平臺，讓學生自主發現問題，思考分析問題，從而找到解決問題的方法，深化理解幾何知識的同時促進思維的發展.

3. 聚焦基本圖形，學習轉化思想

幾何綜合題的求解過程離不開對基本圖形的性質利用，因此解題的關鍵是圖形的構建過程以及條件的轉化過程，構造轉化是求解的必要途徑，學習和使用構造思想和轉化思想對于學生數學思想的提升極為有利. 在教學中有必要跟進學生的特殊三角形、平行四邊形等基本圖形的學習，引導學生深入探究四邊形、平行四邊形、特殊平行四邊形的性質及判定條件，聚焦基本圖形，通過典型例題的講解初步培養學生的數學思想，為學生的長遠發展奠定基礎.

寫在最后

涉及實踐操作的幾何綜合題，需要充分理解題干信息，結合所學方法準確作圖，同時關注作圖過程中的幾何性質，從繁雜的幾何圖形中提取關鍵信息，為接下來求解幾何問題打下基礎，對于涉及基本圖形的相關證明要充分利用幾何性質，轉化問題簡便求解. 在教學中要重視幾何的尺規作圖，引導學生學習和積累幾何的基本性質；讓學生體驗問題的探究過程，促進學生解題思維的發展，關注基本圖形，學習解題思想，使學生的綜合能力得到發展.