提煉圖像信息，數形轉化破解

沈松權

[摘 要] 一次函數應用題是中考的重點題型，通常結合了圖像的應用題需要采用數形結合的方式，從審圖入手，通過提取關鍵點的方式求函數解析式，然后利用代數的準確性來分析問題.

[關鍵詞] 一次函數；圖像；應用題；數形結合；審圖；待定系數法

近年的中考數學試題中出現了一些緊密結合圖像的一次函數應用題，具有圖形抽象、結構新穎、知識綜合的特點，對于學生讀圖、識圖能力要求較高，如何利用圖像信息來轉化分析問題成為解題的關鍵，也是學生思維的難點.

真題解析，試題點評

1. 真題呈現

（2017年浙江湖州中考卷第23題）湖州素有魚米之鄉之稱，某水產養殖大戶為了更好地發揮技術優勢，一次性收購了20000 kg淡水魚，計劃養殖一段時間后再出售. 現已知每天放養的費用相同，放養10天的總成本為30.4萬元；放養20天的總成本為30.8萬元（總成本=放養總費用+收購成本）.

（1）設每天的放養費用是a萬元，收購成本為b萬元，求a和b的值.

（2）設這批淡水魚放養t天后的質量為m（kg），銷售單價為y元/kg. 根據以往經驗可知：m與t的函數關系為m=20000（0≤t≤50），100t+15000（50

①分別求出當0≤t≤50和50

②設將這批淡水魚放養t天后一次性出售所得利潤為W元，求當t為何值時，W最大？并求出最大值. （利潤=銷售總額-總成本）

2. 試題解析

分析 （1）求a和b的值，只需根據題意列出關于參數的二元一次方程組即可求解.

（2）①求分段區間內一次函數的解析式，可先設出解析式，然后從圖像上提取相應的坐標點，然后利用待定系數法分別列方程組即可求函數的解析式；②求利潤W的最大值，可以根據“利潤=銷售總額-總成本”來分析，首先求得不同區間上的最大值，然后綜合比較即可.

解答 （1）根據題意可得10a+b=30.4，20a+b=30.8， 解得a=0.04，b=30.

（2）①當0≤t≤50時，設函數的關系式為y=kt+n，從圖1可得函數圖像上的點（0，15）和（50，25），將兩坐標點代入y=kt+n，可得15=n，25=50k+n， 解得k=，n=15， 所以y與t的函數關系式為y=t+15；當50

②由題意可知，當0≤t≤50時，W=3600t，所以t=50時，W=180000（元）；當50

綜上所述，當t為55時，W最大，最大值為180250元.

3. 試題點評

本題目為結合圖像的一次函數應用題，主要考查學生信息提取、圖像分析以及二元一次方程組求解的能力，對于學生讀圖運算能力要求較高. 上述題目在求解函數解析式時有效分析函數圖像，準確提取相關坐標點，采用待定系數法來求解；而對于最值問題，則把握“利潤”的概念，充分結合函數圖像，利用代數解析式運算的便利性來求解，整個過程數形結合，以形輔數，以數示形，實現了形象分析與理性計算的完美結合，其中對于圖像的理解和信息提取是解決該類題型的關鍵.

試題銜接，思路剖析

結合圖像的一次函數應用題在歷年中考中均有出現，圖像的分析轉化是求解的關鍵，該類題的解題思路為：充分理解函數圖像，結合問題提取關鍵點信息，以數示形，實現圖像的代數化轉變，有效利用函數解析式來分析求解.

試題1 （2016年上海中考卷第22題）某物流公司引進A，B兩種機器人用來搬運某種貨物，這兩種機器人充滿電后可以連續搬運5小時，A種機器人于某日0時開始搬運，過了1小時，B種機器人才開始搬運，如圖2，線段OG表示A種機器人的搬運量y（千克）與時間x（小時）的函數圖像，線段EF表示B種機器人的搬運量y（千克）與時間x（小時）的函數圖像，根據圖像提供信息，解答下列問題：

（1）求y關于x的函數解析式；

（2）如果A，B兩種機器人各連續搬運5個小時，那么B種機器人比A種多搬運了多少千克？

分析 （1）求y關于x的函數解析式就是求線段EF的解析式，此為一次函數圖像，可以考慮從圖像上取點E和P，然后利用待定系數法求解.

（2）比較A、B兩種機器人連續5小時的搬運量，由于A種機器人比B種機器人提前1小時工作，則只需求得x=5時y的值，以及x=6時y的值，然后相減進行比較即可.

解答 （1）設y關于x的函數解析式為y=kx+b（k≠0），從線段EF上取點E（1，0）和P（3，180），代入y=kx+b可得k+b=0，3k+b=180， 解得k=90，b=-90， 所以y關于x的函數解析式為y=90x-90（1≤x≤6）.

（2）設y關于x的函數解析式為y=kx+b（k≠0），點P（3，180）在該圖像上，解得k=60，所以y=60x. 當x=5時，y=300（千克）；當x=6時，y=450（千克），則B種機器人比A種機器人多搬運的為：y-y=450-300=150（千克）.

試題2 （2016年四川南充中考卷第23題）小明和爸爸從家步行去公園，爸爸先出發一直勻速前行，小明后出發. 家到公園的距離為2500 m，圖3為小明和爸爸所走路程s（m）與步行時間t（min）的函數圖像.

（1）直接寫出小明所走路程s與時間t的函數關系式；

（2）小明出發多少時間與爸爸第三次相遇？

（3）在速度不變的情況下，小明希望比爸爸早20 min到達公園，則小明在步行過程中停留時間需做怎樣調整？

分析 （1）略；（2）第三次相遇的時間為t>30 min，首先需要從圖像上取點，然后利用待定系數法求爸爸路程與時間的函數，然后利用路程相等求時間的方式來求解. （3）要求小明比爸爸提前20 min到公園，需要分別求他們到達公園的時間，然后通作差來確定小明中途停留的時間.

解答 （2）設爸爸所走路程s與時間t的函數關系式為s=kt+b，提取圖像上的點（0，250），（25，1000），代入函數解析式可得b=250，25k+b=1000，解得b=250，k=30，則爸爸所走路程s與時間t的函數關系式為s=30t+250. 小明與爸爸第三次相遇時的時間t>30 min，利用路程相等列方程s=30t+250，s=50t-500，解得s=1375，t=37.5， 則小明出發37.5 min時與爸爸第三次相遇.

（3）當s=2500時，爸爸的時間t=75，則爸爸到達公園的時間為t=75 min，則小明到達公園的時間需為t=60 min，比爸爸少15 min，則小明在步行過程中停留時間需減少5 min.

上述兩道題均為涉及圖像的一次函數應用題，解題思路均為結合圖像關鍵點求函數解析式，然后利用解析式，采用代數運算的方式來分析問題. 試題1為工作量問題，運用待定系數法求搬運量的函數解析式，結合圖像分析，利用解析式來比較搬運量；試題2則是運動相遇問題，也是采用待定系數法來求兩人的路程與時間的函數解析式，利用圖像的直觀性、代數計算的準確性來求解.

解后反思，教學思考

1. 關注現實問題，把握問題核心

近幾年中考的一次函數應用題更加追求貼近生活實際，大多從新聞、報刊、生活實例中引申問題，考查學生從繁雜的生活實例中提煉數學信息的能力，例如上述關于放養魚的利潤、機器人搬運量、運動相遇問題. 因此在教學中教師要引導學生在掌握一次函數核心知識的情況下關注現實背景中的數學問題，培養學生發現問題、提煉問題的能力，同時適當改編例題，引導學生分析問題結構，提升學生描述問題的能力.

2. 重視審圖過程，注重轉化分析

從一次函數的解題過程來看，分析函數圖像、提取圖像信息是解決問題的關鍵，也是必不可少的思維過程，無論是利潤問題還是路程問題都需要讀懂圖像，理解圖像的發展過程，然后才能利用數形結合的方式來實現問題的解答. 因此在教學中教師要注重培養學生識圖、辨圖、用圖的能力，通過特定的教學方式，例如圖像平移，逐步發展學生對于圖像與代數之間的轉化意識，培養學生利用數學分析圖像的能力.

3. 學習數形結合，促進思維發展

對于涉及圖像的一次函數應用題，其解題過程是對數形結合思想的充分體現，從圖像中提取坐標信息，利用代數解析式來分析圖像，正是對數與形的相互轉化實現了問題的最終解答，數形結合思想是解決函數問題的核心思想，利用數形結合的方式可實現問題簡單求解，在教學中要結合實例引導學生體驗數形結合的思維過程，學習和掌握數形結合的解題思路，促進學生直觀思維和邏輯思維的雙重發展.

寫在最后

涉及圖像的一次函數應用題是對數形結合思想的重點考查，解題過程需要有效結合圖像，提取關鍵信息，利用函數解析式來求解. 在教學中要引導學生關注現實中的函數問題，把握問題核心，提升學生問題的描述能力；重視審圖過程，提升學生識圖、轉化能力；學習數形結合，促進學生思維的雙重發展.