提煉圖像信息，數(shù)形轉(zhuǎn)化破解

沈松權(quán)

[摘 要] 一次函數(shù)應(yīng)用題是中考的重點(diǎn)題型，通常結(jié)合了圖像的應(yīng)用題需要采用數(shù)形結(jié)合的方式，從審圖入手，通過(guò)提取關(guān)鍵點(diǎn)的方式求函數(shù)解析式，然后利用代數(shù)的準(zhǔn)確性來(lái)分析問(wèn)題.

[關(guān)鍵詞] 一次函數(shù)；圖像；應(yīng)用題；數(shù)形結(jié)合；審圖；待定系數(shù)法

近年的中考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)了一些緊密結(jié)合圖像的一次函數(shù)應(yīng)用題，具有圖形抽象、結(jié)構(gòu)新穎、知識(shí)綜合的特點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生讀圖、識(shí)圖能力要求較高，如何利用圖像信息來(lái)轉(zhuǎn)化分析問(wèn)題成為解題的關(guān)鍵，也是學(xué)生思維的難點(diǎn).

真題解析，試題點(diǎn)評(píng)

1. 真題呈現(xiàn)

（2017年浙江湖州中考卷第23題）湖州素有魚(yú)米之鄉(xiāng)之稱，某水產(chǎn)養(yǎng)殖大戶為了更好地發(fā)揮技術(shù)優(yōu)勢(shì)，一次性收購(gòu)了20000 kg淡水魚(yú)，計(jì)劃養(yǎng)殖一段時(shí)間后再出售. 現(xiàn)已知每天放養(yǎng)的費(fèi)用相同，放養(yǎng)10天的總成本為30.4萬(wàn)元；放養(yǎng)20天的總成本為30.8萬(wàn)元（總成本=放養(yǎng)總費(fèi)用+收購(gòu)成本）.

（1）設(shè)每天的放養(yǎng)費(fèi)用是a萬(wàn)元，收購(gòu)成本為b萬(wàn)元，求a和b的值.

（2）設(shè)這批淡水魚(yú)放養(yǎng)t天后的質(zhì)量為m（kg），銷售單價(jià)為y元/kg. 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)可知：m與t的函數(shù)關(guān)系為m=20000（0≤t≤50），100t+15000（50

①分別求出當(dāng)0≤t≤50和50

②設(shè)將這批淡水魚(yú)放養(yǎng)t天后一次性出售所得利潤(rùn)為W元，求當(dāng)t為何值時(shí)，W最大？并求出最大值. （利潤(rùn)=銷售總額-總成本）

2. 試題解析

分析 （1）求a和b的值，只需根據(jù)題意列出關(guān)于參數(shù)的二元一次方程組即可求解.

（2）①求分段區(qū)間內(nèi)一次函數(shù)的解析式，可先設(shè)出解析式，然后從圖像上提取相應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法分別列方程組即可求函數(shù)的解析式；②求利潤(rùn)W的最大值，可以根據(jù)“利潤(rùn)=銷售總額-總成本”來(lái)分析，首先求得不同區(qū)間上的最大值，然后綜合比較即可.

解答 （1）根據(jù)題意可得10a+b=30.4，20a+b=30.8， 解得a=0.04，b=30.

（2）①當(dāng)0≤t≤50時(shí)，設(shè)函數(shù)的關(guān)系式為y=kt+n，從圖1可得函數(shù)圖像上的點(diǎn)（0，15）和（50，25），將兩坐標(biāo)點(diǎn)代入y=kt+n，可得15=n，25=50k+n， 解得k=，n=15， 所以y與t的函數(shù)關(guān)系式為y=t+15；當(dāng)50

②由題意可知，當(dāng)0≤t≤50時(shí)，W=3600t，所以t=50時(shí)，W=180000（元）；當(dāng)50

綜上所述，當(dāng)t為55時(shí)，W最大，最大值為180250元.

3. 試題點(diǎn)評(píng)

本題目為結(jié)合圖像的一次函數(shù)應(yīng)用題，主要考查學(xué)生信息提取、圖像分析以及二元一次方程組求解的能力，對(duì)于學(xué)生讀圖運(yùn)算能力要求較高. 上述題目在求解函數(shù)解析式時(shí)有效分析函數(shù)圖像，準(zhǔn)確提取相關(guān)坐標(biāo)點(diǎn)，采用待定系數(shù)法來(lái)求解；而對(duì)于最值問(wèn)題，則把握“利潤(rùn)”的概念，充分結(jié)合函數(shù)圖像，利用代數(shù)解析式運(yùn)算的便利性來(lái)求解，整個(gè)過(guò)程數(shù)形結(jié)合，以形輔數(shù)，以數(shù)示形，實(shí)現(xiàn)了形象分析與理性計(jì)算的完美結(jié)合，其中對(duì)于圖像的理解和信息提取是解決該類題型的關(guān)鍵.

試題銜接，思路剖析

結(jié)合圖像的一次函數(shù)應(yīng)用題在歷年中考中均有出現(xiàn)，圖像的分析轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，該類題的解題思路為：充分理解函數(shù)圖像，結(jié)合問(wèn)題提取關(guān)鍵點(diǎn)信息，以數(shù)示形，實(shí)現(xiàn)圖像的代數(shù)化轉(zhuǎn)變，有效利用函數(shù)解析式來(lái)分析求解.

試題1 （2016年上海中考卷第22題）某物流公司引進(jìn)A，B兩種機(jī)器人用來(lái)搬運(yùn)某種貨物，這兩種機(jī)器人充滿電后可以連續(xù)搬運(yùn)5小時(shí)，A種機(jī)器人于某日0時(shí)開(kāi)始搬運(yùn)，過(guò)了1小時(shí)，B種機(jī)器人才開(kāi)始搬運(yùn)，如圖2，線段OG表示A種機(jī)器人的搬運(yùn)量y（千克）與時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)圖像，線段EF表示B種機(jī)器人的搬運(yùn)量y（千克）與時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像提供信息，解答下列問(wèn)題：

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）如果A，B兩種機(jī)器人各連續(xù)搬運(yùn)5個(gè)小時(shí)，那么B種機(jī)器人比A種多搬運(yùn)了多少千克？

分析 （1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式就是求線段EF的解析式，此為一次函數(shù)圖像，可以考慮從圖像上取點(diǎn)E和P，然后利用待定系數(shù)法求解.

（2）比較A、B兩種機(jī)器人連續(xù)5小時(shí)的搬運(yùn)量，由于A種機(jī)器人比B種機(jī)器人提前1小時(shí)工作，則只需求得x=5時(shí)y的值，以及x=6時(shí)y的值，然后相減進(jìn)行比較即可.

解答 （1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），從線段EF上取點(diǎn)E（1，0）和P（3，180），代入y=kx+b可得k+b=0，3k+b=180， 解得k=90，b=-90， 所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=90x-90（1≤x≤6）.

（2）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0），點(diǎn)P（3，180）在該圖像上，解得k=60，所以y=60x. 當(dāng)x=5時(shí)，y=300（千克）；當(dāng)x=6時(shí)，y=450（千克），則B種機(jī)器人比A種機(jī)器人多搬運(yùn)的為：y-y=450-300=150（千克）.

試題2 （2016年四川南充中考卷第23題）小明和爸爸從家步行去公園，爸爸先出發(fā)一直勻速前行，小明后出發(fā). 家到公園的距離為2500 m，圖3為小明和爸爸所走路程s（m）與步行時(shí)間t（min）的函數(shù)圖像.

（1）直接寫出小明所走路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）小明出發(fā)多少時(shí)間與爸爸第三次相遇？

（3）在速度不變的情況下，小明希望比爸爸早20 min到達(dá)公園，則小明在步行過(guò)程中停留時(shí)間需做怎樣調(diào)整？

分析 （1）略；（2）第三次相遇的時(shí)間為t>30 min，首先需要從圖像上取點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法求爸爸路程與時(shí)間的函數(shù)，然后利用路程相等求時(shí)間的方式來(lái)求解. （3）要求小明比爸爸提前20 min到公園，需要分別求他們到達(dá)公園的時(shí)間，然后通作差來(lái)確定小明中途停留的時(shí)間.

解答 （2）設(shè)爸爸所走路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為s=kt+b，提取圖像上的點(diǎn)（0，250），（25，1000），代入函數(shù)解析式可得b=250，25k+b=1000，解得b=250，k=30，則爸爸所走路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為s=30t+250. 小明與爸爸第三次相遇時(shí)的時(shí)間t>30 min，利用路程相等列方程s=30t+250，s=50t-500，解得s=1375，t=37.5， 則小明出發(fā)37.5 min時(shí)與爸爸第三次相遇.

（3）當(dāng)s=2500時(shí)，爸爸的時(shí)間t=75，則爸爸到達(dá)公園的時(shí)間為t=75 min，則小明到達(dá)公園的時(shí)間需為t=60 min，比爸爸少15 min，則小明在步行過(guò)程中停留時(shí)間需減少5 min.

上述兩道題均為涉及圖像的一次函數(shù)應(yīng)用題，解題思路均為結(jié)合圖像關(guān)鍵點(diǎn)求函數(shù)解析式，然后利用解析式，采用代數(shù)運(yùn)算的方式來(lái)分析問(wèn)題. 試題1為工作量問(wèn)題，運(yùn)用待定系數(shù)法求搬運(yùn)量的函數(shù)解析式，結(jié)合圖像分析，利用解析式來(lái)比較搬運(yùn)量；試題2則是運(yùn)動(dòng)相遇問(wèn)題，也是采用待定系數(shù)法來(lái)求兩人的路程與時(shí)間的函數(shù)解析式，利用圖像的直觀性、代數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確性來(lái)求解.

解后反思，教學(xué)思考

1. 關(guān)注現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，把握問(wèn)題核心

近幾年中考的一次函數(shù)應(yīng)用題更加追求貼近生活實(shí)際，大多從新聞、報(bào)刊、生活實(shí)例中引申問(wèn)題，考查學(xué)生從繁雜的生活實(shí)例中提煉數(shù)學(xué)信息的能力，例如上述關(guān)于放養(yǎng)魚(yú)的利潤(rùn)、機(jī)器人搬運(yùn)量、運(yùn)動(dòng)相遇問(wèn)題. 因此在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生在掌握一次函數(shù)核心知識(shí)的情況下關(guān)注現(xiàn)實(shí)背景中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提煉問(wèn)題的能力，同時(shí)適當(dāng)改編例題，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生描述問(wèn)題的能力.

2. 重視審圖過(guò)程，注重轉(zhuǎn)化分析

從一次函數(shù)的解題過(guò)程來(lái)看，分析函數(shù)圖像、提取圖像信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，也是必不可少的思維過(guò)程，無(wú)論是利潤(rùn)問(wèn)題還是路程問(wèn)題都需要讀懂圖像，理解圖像的發(fā)展過(guò)程，然后才能利用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解答. 因此在教學(xué)中教師要注重培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖、辨圖、用圖的能力，通過(guò)特定的教學(xué)方式，例如圖像平移，逐步發(fā)展學(xué)生對(duì)于圖像與代數(shù)之間的轉(zhuǎn)化意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)分析圖像的能力.

3. 學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)思維發(fā)展

對(duì)于涉及圖像的一次函數(shù)應(yīng)用題，其解題過(guò)程是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的充分體現(xiàn)，從圖像中提取坐標(biāo)信息，利用代數(shù)解析式來(lái)分析圖像，正是對(duì)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的最終解答，數(shù)形結(jié)合思想是解決函數(shù)問(wèn)題的核心思想，利用數(shù)形結(jié)合的方式可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題簡(jiǎn)單求解，在教學(xué)中要結(jié)合實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思維過(guò)程，學(xué)習(xí)和掌握數(shù)形結(jié)合的解題思路，促進(jìn)學(xué)生直觀思維和邏輯思維的雙重發(fā)展.

寫在最后

涉及圖像的一次函數(shù)應(yīng)用題是對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的重點(diǎn)考查，解題過(guò)程需要有效結(jié)合圖像，提取關(guān)鍵信息，利用函數(shù)解析式來(lái)求解. 在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實(shí)中的函數(shù)問(wèn)題，把握問(wèn)題核心，提升學(xué)生問(wèn)題的描述能力；重視審圖過(guò)程，提升學(xué)生識(shí)圖、轉(zhuǎn)化能力；學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)學(xué)生思維的雙重發(fā)展.