初中數學視角下歐拉線和歐拉圓的證明

池劍善

[摘 要] 筆者查閱資料，發現沒有人研究從初中數學的角度證明以大數學家“歐拉”命名的歐拉線和歐拉圓. 本文所給的證明方法以初中數學課本知識為基礎，并進行稍微拓展，該方法對初中生競賽培優教學有一定的參考價值.

[關鍵詞] 初中數學；歐拉線；歐拉圓

在競賽輔導中，歷史上的經典名題、定理的證明是我們繞不開的路. 比如，學習平面幾何時，選擇歐拉線和歐拉圓的證明教學是培養學生推理能力和演繹思維的一個不錯選擇. 首先，我們來熟悉一下歐拉線和歐拉圓.

歐拉線：萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出的定理——三角形的重心在歐拉線上，即三角形的重心、垂心和外心共線，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.

歐拉圓：三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點（連接三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓. 通常稱這個圓為九點圓（nine-point circle），或歐拉圓、費爾巴哈圓.

歐拉線是過三角形的垂心、外心、重心和歐拉圓圓心的一條直線.

一般的定理教學，教師引導學生一起“探究”，然后牽著學生的思維一起把別人走過的路再走一遍. 而本文是筆者的另外一種實踐. 筆者研究了這兩個經典定理歷史上的證明方法，發現很多都超過了初中生的知識儲備，于是篩選了一些適合的方法，重新整理思路，把兩個有關聯的定理關聯起來，然后分不同的階段，為學生鋪好臺階，走到終點.

引理及其證明

引理？搖 三角形的外心到一邊的距離等于垂心到該邊相對的頂點距離的一半.

如圖1，在△ABC中，O，H為其外心和垂心，D為BC的中點，連接OD，AH. 求證：OD=AH.

證明？搖 如圖1，連接OB，OC，連接CH并延長交AB于點R，延長AH交BC于點P，因為點O為△ABC的外心，所以∠BAC=∠BOC. 因為D為BC的中點，所以∠COD=∠BOC=∠BAC，OD⊥BC. 因為CR⊥AB，所以∠ARC=∠ODC=90°. 所以△ARC∽△ODC. 所以=①. 因為AP⊥BC，所以∠ARC=∠APC=90°. 所以A，R，P，C四點共圓. 所以∠RAH=∠BCR. 所以△ARH∽△CRB. 所以=，即=②. ①×②得=，所以OD=AH.

上述證明是在銳角三角形中進行的，同理可證鈍角三角形也成立. 直角三角形比較特殊，很容易證明成立.

歐拉線定理及其證明

如圖2，在△ABC中，O，G，H分別為其外心、重心、垂心，D為BC的中點，求證：O，G，H三點共線，且OG=GH.

證明 ？搖設AD交OH于點G′，因為OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH. 所以△ODG′∽△HAG′. 因為OD=AH，所以OG′=G′H，DG′=AG′. 因為G為△ABC的重心，所以DG=AG. 所以G與G′重合. 所以O，G，H三點共線，且OG=GH.

上述證明是在銳角三角形中進行的，同理可證鈍角三角形也成立. 直角三角形比較特殊，很容易證明成立.

九點圓（歐拉圓）及其證明

1. 證三高的垂足和三個歐拉點（連接三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）共圓

如圖3，在△ABC中，H為其垂心，設AH，BH，CH的中點分別為M，L，N，過M，L，N三點的圓記為⊙J，P，Q，R分別是三條高在BC，AC，AB上的垂足. 求證：P，Q，R均在⊙J上.

證明？搖 連接MN，LN，LM，QM，QN. 因為L，N分別為BH，CH的中點，所以LN∥BC且LN=BC. 同理，LM∥AB且LM=AB，MN∥AC且MN=AC. 因為H為△ABC的垂心，所以H為△MLN的垂心. 所以P，Q，R分別為H關于LN，MN，ML對稱的點. 所以∠MQN=∠MHN，∠MHN+∠MLN =∠MQN+∠MLN=180°. 所以Q在△MLN的外接圓上.同理，P，R也在△MLN的外接圓上，所以P，Q，R在⊙J上.

上述證明是在銳角三角形中進行的，感興趣的讀者可以在鈍角三角形和直角三角形中進行證明.

2. 證三邊中點和三個歐拉點共圓

如圖4，在△ABC中，D，E，F分別是BC，AC，AB的中點，AP⊥BC，BQ⊥AC，CR⊥AB，垂足分別為P，Q，R，H為△ABC的垂心，設AH，BH，CH的中點分別為M，L，N，過M，L，N三點的圓記為⊙J. 求證：D，E，F均在⊙J上.

證明？搖 連接MN，DN，則DN∥BQ，MN∥AC. 因為BQ⊥AC，所以DN⊥MN. 又因為AP⊥BC，所以D，P，N，M四點共圓. 所以點D在⊙J上. 同理，E，F也在⊙J上.

上述證明是在銳角三角形中進行的，感興趣的讀者可以在鈍角三角形和直角三角形中進行證明.

歐拉圓心和歐拉線之間的位置

及其證明

1. 證明歐拉圓圓心在歐拉線上

如圖5，O，H，J分別是△ABC的外心、垂心和歐拉圓圓心. 求證：O，J，H三點共線，且OJ=HJ.

證明？搖 連接AH并延長交BC于點P，分別取AH和BC的中點M，D，連接DM，OH交于點J′. 因為OD⊥BC，MH⊥BC，所以OD∥MH. 所以∠ODJ′=∠HMJ′. 所以∠DOJ′=∠MHJ′. 又因為OD=AH=MH，所以△ODJ′≌△HMJ′. 所以OJ′= HJ′，DJ′=MJ′. 因為∠APB=90°，所以DM為⊙J的直徑. 所以J為DM的中點. 所以點J與點J′重合. 所以O，J，H三點共線，且OJ=HJ.

上述證明是在銳角三角形中進行的，感興趣的讀者可以在鈍角三角形和直角三角形中進行證明.

2. 證明三角形的歐拉圓半徑等于外接圓半徑的一半

如圖6，已知⊙J和⊙O分別是△ABC的歐拉圓和外接圓，求證：⊙J的半徑為⊙O半徑的.

證明？搖 設H為△ABC的垂心，連接AH，分別取AH和BC的中點M，D，連接OA，OD，DM，則OA為⊙O的半徑，DM為⊙J的直徑. 因為OD∥AM且OD=AM，所以四邊形AODM是平行四邊形. 所以OA=DM. 所以⊙J的半徑為⊙O半徑的.

上述證明是在銳角三角形中進行的，感興趣的讀者可以在鈍角三角形和直角三角形中進行證明.

利用歐拉圓心和歐拉線可證一

些四點共圓的問題

如圖7，H為△ABC的垂心，L為BC邊的中點，P為AH的中點，過點L作PL的垂線交AB于點G，交AC的延長線于點K，求證：G，B，K，C四點共圓.

證明？搖 如圖8，設△ABC的外心為O，連接OH，取OH的中點E，則E為歐拉圓圓心. 連接AO，則AO∥PE，從而AO⊥GK. 設N為AB的中點，連接ON，則ON⊥AG. 于是∠AON=∠AGL. 又因為∠ACL=∠AON，所以∠ACL=∠AGL. 所以∠BGK=∠KCB. 所以B，K，C，G四點共圓.

幾何名題內容豐富，是數學競賽教學的一大寶貴資源，只要我們多挖掘，多思考，換種角度從學生的最近發展區出發進行啟發教學，再配合可以利用所學定理解決問題的實例讓學生操練，應該能起到事半功倍之效.