數學畫：尋找抽象與直觀的中間地帶

周云 丁姣

【摘要】數量關系是解決問題的核心，幫助學生厘清數學關系，成為解決問題教學的關鍵所在。低年級兒童受其年齡特點和抽象思維水平所限，他們解決問題時往往需要借助幾何直觀來幫助分析思考，尋求解決問題的最佳策略。示意圖作為最重要的幾何直觀，它在小學低段數學解決問題中發揮著不可忽視的作用。本文以課例《求比一個數多幾（少幾）的數是多少》為研究載體，展開對畫圖意識及畫圖技能培養策略的研究。畫數學，數學抽象與直觀的應有中間地帶，讓數量關系水落石出，問題解決水到渠成。

【關鍵詞】幾何直觀；示意圖；數量關系；策略；解決問題

一、緣起：老師，畫圖讓我變笨了

一次教學“解決問題”，下課后正當我拿起書本準備離開教室時，坐在第一排的一個男生跑過來問我，“老師，我畫完這道題的圖，可是算式是12-8還是12-4啊？”我看著這孩子所指的題目“圓有12個，三角形比圓少4個，三角形有幾個？”心咯噔一下，圖畫對了，怎么會問出這樣的問題呢？我連忙問他：“算式中8哪來的？我們還不知道三角形的個數呢?！甭犕晡业脑?，他尷尬地撓撓頭說：“老師，畫圖讓我變笨了。”原來，他對每個數字所表示的意思都懂，就是看著畫完的示意圖，反而不知道最后到底要求什么了。

“老師，畫圖讓我變笨了”，這句話時?；厥幵谖业哪X海里。作為一個教師，我開始反思，明明畫示意圖是幫助孩子理解題意，能更好地解決問題，怎么反而讓孩子陷入思維泥潭中，到底是什么原因導致這種情況發生呢？

二、審問：“數學畫”的前世今生

“幾何直觀”是《數學課程標準》（2011年版）提出的核心概念之一，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助它可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。示意圖，又稱為數學畫，是讓數量關系直觀形象地顯露出來，因此，加強示意圖教學成為貫徹幾何直觀新理念的重要抓手。筆者就以示意圖教學為例，對當下幾何直觀教學現狀進行分析。到底是什么原因導致學生不能正確從示意圖中提煉數量關系幫助解決問題呢？除學生自身的原因外，作為教師是否也應該審問自己在平時教學中，有沒有關注畫圖策略的具體指導？課堂中有沒有滲透畫圖的價值？

這一連串的問題，暴露了我們平時對畫圖策略指導的現狀。

1.硬性規定，適得其反

許多教師重視用示意圖來解決問題，但是對示意圖的用途理解不到位，教師純粹是為了畫圖而畫圖，一味地對孩子進行灌輸式教育，認為解決問題就一定要會畫示意圖，覺得人人都要借助它來解決問題。更多的時候教師把示意圖當作梳理題目信息的一種方法，而常常忽視畫示意圖的另一個功能，就是可以從中提煉出數量關系，從而真正理解題意達到解決問題的目的。然而在低年級解決問題中，由于信息含量比較少，所以很多學生認為他們不需要借助示意圖也是可以很清楚地在腦子中梳理題目中的信息，他們反而覺得畫示意圖是一種累贅，于是他們運用示意圖的意識很淡薄。

2.結構乏力，能力尚淺

教師的視野里只有自己所教年段的教學內容結構，不“瞻前”也不“顧后”，而且按部就班，缺乏從學生視角出發研發教材、改善教學行為的主觀意識，所以對線段圖教學的思路也是模糊的，斷點式的，無條理的。

教材、教師的問題導致學生讀線段圖、畫線段圖的能力欠缺。大部分學生不能將題目的條件和問題整理到已經畫好的線段圖上，從抽象到具體的橋梁不暢通，說明學生缺乏“數”“形”結合的能力。

3.溝通聯系，橋梁不暢

在解決問題的教學過程中，教師往往注重結果，而忽視畫示意圖形成的思維過程。尤其是在低年級解決問題中，教師一般會先畫好示意圖，然后通過示意圖來理解題意并列出算式，這樣不溝通圖文，不借助示意圖讓學生體會數量關系形成的直接教學，會造成學生聽教師講時明白，自己做時又束手無策。又再加之大部分青年教師，在解決問題教學過程中，本身對教學目標設定上存在一定的偏差，只要有學生能畫示意圖并解決問題就以為達成了教學目標。像這樣一知半解地完成示意圖教學不僅束縛了學生的思維，而且學生也體會不到運用示意圖在解決問題中的價值。

該如何改變這種現狀呢？在一次次的對比研究中，筆者發現只有能根據題意正確畫示意圖，才能從中提煉出數量關系，從而為解決數學問題提供幫助。

三、篤行：尋找抽象與直觀的中間地帶

基于以上認識，筆者在教學中做了課例對比研究，以二年級學生為研究對象，以《求比一個數多幾（少幾）的數是多少的決問題》為載體開展研究。通過“初探”“再探”“總結”三個環節進行比較研究，在實踐中探索如何從示意圖中提煉出數量關系，真正讓數學畫（即示意圖）成為“抽象”與“直觀”之間的橋梁，幫助學生高效解決問題。

1.初探：嘗試畫圖

第一次執教的時候，筆者先出示二年級衛生評比的情境圖，讓學生觀察情境圖，提取數學信息，并提出問題：一班得了12面紅旗，二班比一班多得3面，二班得了多少面？根據學生的回答和教師的引導，學生基本認同畫圖能幫助我們解決問題，因此教師提供時間讓學生嘗試畫示意圖。如下圖：

根據學生的畫圖一一投影反饋，比較這8種示意圖，學生一致得出圖5、6、7、8幅比較好，它們畫法差不多。然后為了加深記憶，教師自己在PPT 中完整展示這道題的示意圖形成過程，最后請學生根據示意圖列出算式，再請學生看著算式說一說算式中的每個數所代表的含義，在這里學生依然沒有能夠看著示意圖從中理解算式中的12表示的含義，都認為12表示一班得到的紅旗數量，可見示意圖并沒有幫助學生突破難點。于是教師沒有辦法只能自己對著算式和示意圖來強調12表示的是一班和二班得的紅旗同樣多。學生也是云里霧里的接納了這個解釋。然而在課下，批改作業的時候筆者才發現，其實大部分學生還是不明白到底為什么要畫圖，畫圖到底給解決問題帶來什么的好處，顯然學生是沒有真切感受到畫圖的意義的。因為有部分學生不畫圖他也會，而少數學生畫了示意圖后列出的算式更是不對，經常還會把題目文字中沒有告訴的信息根據畫圖而直接用上去，導致出現問題與算式答非所問。

根據這片段的教學分析，在展示畫圖的過程中，教師并沒有很好地引導學生去理解如何根據題目的意思畫出示意圖的過程，雖然有些學生能畫出正確的示意圖，卻對示意圖的形成還是一知半解，更多的是模仿課前三角形和圓形的對比圖進行畫圖的，沒有真正根據題目的意思深入思考。教師只是單純地注重畫圖的結果，對學生畫圖過程的思維并沒有進行充分暴露，更多地是為了引出畫圖而畫圖， 并沒有做從文字——示意圖的溝通解釋，導致學生沒有體會到畫圖的真正作用是什么。在畫示意圖的過程中學生能根據文字意思逐步梳理信息，再對信息進行分析，那才是畫示意圖的真正作用。顯然從上面的教學過程中教師并沒有顯露出讓學生體會畫示意圖的作用，學生更不是發自內心的、主動地去感悟到用畫圖來解決問題更方便。其次在畫出示意圖以后，教師讓學生列出算式解答，再回問學生算式中的每個數所表達的含義，并沒有很好地結合示意圖去理解，在學生出現理解錯誤時，教師就采取自己解釋其含義，而不是追問，或者利用學生學習的難點進行算式與示意圖之間的溝通，從而真正讓學生體會到通過示意圖原來可以幫助我們提煉數量關系，理解算式的真正含義。

2.再探：反思完善

在第一次教學后，筆者進行了深刻反思。同樣在學生認同畫圖是一種好的方法來幫助我們解決問題后，學生獨立嘗試畫圖，然后進行投影反饋。在這次反饋過程中，教師并沒有著急評價學生畫圖的好壞，而是耐心的詢問學生你是怎么畫的。教師充分暴露學生的畫圖思維過程，一步一步慢慢將題目的意思轉化成簡單的圖畫，讓學生經歷畫圖的過程。接著教師在學生初步得出示意圖后，又進行了追問：還有比這種畫法更簡單的畫法嗎？迫使學生在原有的示意圖基礎上，尋找更簡單的畫法，引導學生抓住題目中的關鍵句進行分析：二班比一班多3面，也就是二班起碼和一班有同樣多的12面紅旗，所以二班前面的12面紅旗可以簡單用一個長方塊表示，寫上“與一班同樣多”這幾個文字表示。最后再追問學生：你能看著這個圖畫說一說它表示什么意思嗎？進一步完善示意圖還缺少問題。最后請學生再看著完整的示意圖說一說題目的意思，核對圖畫是否和文字題目所表示的意思相同，更深層次展示了畫圖的全過程，進而讓學生從示意圖中理解數量之間的關系。

根據這次的教學片斷分析，教師充分暴露學生畫圖的思維過程，通過問題串一步一步引導學生畫出完整而又簡便的示意圖，在一次次完善圖畫過程中無形間加深理解題目的意思，教師顯然做到了用示意圖梳理文字信息的作用，并且溝通了文字與示意圖之間的關系，同時也順理成章地提煉出題目中蘊含的數量關系。在整個過程，既有學生獨立動手畫圖操作的過程，又有分析思考自我內化，讓學生在思辨中感悟畫圖的作用，也理解了抽象的知識。同時教師指導、示范、點撥學生畫圖的過程，大大提高了學生理解數量關系的水平。大部分學生能理解題意畫出正確的示意圖來解決問題。

3.總結：優化教學

兩個教學片段進行同一教學內容的教學，教學效果卻呈現截然不同的結果。究其原因，還是教學環節的呈現上存在很大不同。第一個教學片段中，首先教師在學生畫出正確的示意圖后，沒有深究學生是如何畫圖的，而是輕描淡寫地走過場了，更沒有指導學生如何從學生的圖轉化成書本上更加簡單的示意圖畫法，學生呈現一知半解的狀態。其次，教師并沒有真正讓示意圖“活”起來，它是文字意思的另一種表達方式，即文字題意與示意圖割裂。第三，在畫出正確的示意圖后，學生列出算式并解釋每個數的含義，然而在學生解釋12的含義出現錯誤時教師沒有意識要回到示意圖中尋找答案，這個過程又是與示意圖割裂的。因此整個教學過程中，教師并沒有做到文字——示意圖——算式之間的溝通，三者之間互相割裂，導致學生不理解。而第二個教學片段中，教師在學生出示正確的示意圖后，充分讓學生說一說自己畫圖的過程，順著問題串慢慢引導學生理解題意，完善畫圖的過程。在不斷的思辨修正的過程中，教師指導學生理清了題目的意思，最后又讓學生看著示意圖說一說題意，這無形間提煉出了數量關系并內化。而后，學生靜下心來列出算式，并再一次反過來看著算式對照圖畫來解釋算式的意思。這樣一個過程真正做到了文字——示意圖——算式三者之間的溝通聯系，讓學生體會到用畫圖可以方便解決問題。

四、慎思：如何在抽象與直觀間自由擺渡

有了《解決問題——求比一個數多幾（少）幾的數是多少》一課的成功執教，我們欣喜地看到學生能從示意圖中提煉出數量關系并解決問題的能力在提升，也看到了學生畫圖意識的主動形成。但是數學思想方法的建立應是長期滲透、不斷完善、循序漸進的過程，一節課起到的應是“拋磚引玉”的作用。作為一線教師應該如何培養學生在解決問題過程中形成主動畫圖的意識，并從中提煉數量關系來幫助解決問題呢？我們應該先要將教材在解決問題領域中圖示策略的分布情況進行整理，仔細分析每一個圖示的作用和教材編寫的意圖，最后根據學生的特點制定出能夠培養學生畫圖意識的教學計劃。從中分析，我們不難發現示意圖的運用貫穿于小學數學解決問題教學的整個階段，它也是畫好色條圖和線段圖的基礎。

有了這樣的分析，讓我們對教材有了整體把握，同時在實際教學過程中，教師還要準確定位各階段的圖示教學的目標，對圖示的策略進行合理指導，在課堂教學中時常滲透圖示的價值和作用，讓學生能夠主動地畫圖梳理信息，并從中提煉出數量關系最后解決問題。

1.策略一：培養畫圖能力，發現數量關系

有人認為用畫圖幫助解題是高年級的事，是比較難的題才使用的方法，中低年級和比較簡單的解決問題不需要畫圖。這種認識是不適當的，從上面教材在解決問題中的圖示教學情況分析來看，我們不難發現學生的畫圖能力的培養不是一蹴而就的，教材從低年級開始培養用畫圖幫助解決問題的意識，中低年級的學生解決問題都是先從畫示意圖、色條圖開始來對解決問題的題意進行理解，最后運用抽象的線段圖來解決比較難的題目。然而示意圖并不僅僅只出現在中低年級，在高年級的解決問題中也時常會用到。與此同時有些低年級的學生有錯誤地認為，這么容易的題，我不畫圖就能理解題意，把題做對，何苦去自找麻煩。因此教師在低年級教學中要經常有意識滲透畫圖的意識，如果從小基礎打不牢固，到高年級遇到比較難的題目決問題，需要畫圖輔助解題的時候，就會畫不出來或畫不正確，解題的能力就會的大大降低，就會影響思維的發展。所以，畫圖的培養一定要從中低年級培養，從簡單題入手，從小養成畫圖解題的意識和良好的畫圖技能技巧，打下堅實的基礎，到高年級才能如魚得水，應用自如。

2.策略二：正確范畫指導，理解數量關系

學生剛學習畫示意圖，不知道從哪下手，如何去畫？尤其是低年級的孩子，因此教師的指導、示范就尤為重要。（1）教師可以指導學生跟教師一步一步來畫，找數量關系。教師也可以示范畫出以后，讓學生仿照重畫一遍，即使是把老師畫的圖照抄一邊，也是有收獲的。（2）學生可邊畫邊講，或互相講解。教師對有困難的學生一定要給予耐心的指導。（3）學生掌握了一定的技能后，教師可以放手讓學生自己去畫，教師給予適時的點撥，要注意讓學生講清這樣畫圖的道理，可自己講，也可分組合作講。教師通過對比，一定要讓學生體會用圖解題的直觀、形象，體會簡潔、方便、易理解的特點，提高應用的自覺性、主動性。

3.策略三：溝通文圖關系，提煉數量關系

示意圖不是盲目地畫，隨心所欲地亂畫。教師要指導學生從示意圖中提煉數量關系重點做到以下幾點：（1）認真讀題，全面理解題意，根據所畫的示意圖，先自己獨立思考，圖畫是根據題目中的哪些話一步一步畫成的；（2）脫離文字，讓學生看著示意圖說一說從這幅圖中知道什么信息，要求什么問題，再次從示意圖中理解這道題所表示的意思；（3）根據示意圖的理解，列出算式，讓學生看著算式說一說算式中的每一個數所代表的意思，可結合示意圖來說一說含義。以上過程從文字—示意圖—文字，從示意圖—算式—示意圖這兩次循環進行文—圖—式的溝通，不僅培養了學生語言表達能力，還充分暴露了畫圖的思維過程，這更是分析題意、提煉數量關系的重點。我們需要進行長期的訓練才能提高學生語言表達能力、分析問題和解決問題的能力。

4.策略四：學會舉一反三，應用數量關系

不少的學生遇到這類問題想到用這種示意圖來輔助解題，而換成其他同種類型的題目就不會畫這樣的示意圖來解決。實際上，同一種畫法的示意圖可以表達不同的題目，但實際上題目的類型是同種，我們可以讓學生根據一幅示意圖編題目，從而得到只要是蘊含這種數量關系的示意圖就可以解決這類問題，學會舉一反三。例如，二年級下冊表內除法（一）中有這樣的一幅示意圖：

從這幅示意圖中我們可以提煉出“每份數=總數÷份數 ”這種數量關系，從而解決這類型的所有問題。

看似簡單的數量關系，要從示意圖中提煉出來，并學會應用，這對中低年級的學生來說是一個復雜而又難的過程，卻能讓學生親身經歷畫示意圖——說示意圖形成的過程——從示意圖中提煉數量關系的過程，充分感悟到畫圖是為了提煉數量關系，從而解決問題。

五、展望：數學畫，發現更美的數學

在解決問題教學中，能正確畫示意圖，是提煉數量關系的前提，而數量關系的應用是解決問題的關鍵！增強畫圖意識，培養畫圖能力，輔助解決問題是一種良好學習習慣。經歷從示意圖中提煉數量關系的過程，能不斷增強學生分析問題的能力，激發畫圖需要，提高解決問題能力。學生體驗到學習成功的喜悅，由此喚起兒童在解決問題時需要畫圖的內在需求。當孩子發自內心的說出一句：“畫圖真好！”也許這就是作為一名數學老師教學的成功之處！

數學畫，抽象與直觀的中間地帶，一道美麗的數學風景！

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