反演變換的概念及其幾個性質

羅文科

反演變換是幾何變換的一種，在幾何變換中具有一定的地位。了解反演變換的知識也是學習幾何知識時所應該做的。作為學習數學的學生應該多了解數學的知識，特別是數學的一些基礎知識。再則可多了解一種方法，這樣更有利于擴大解題思路，找到更多的解題方法。

一、 反演變換的概念

（一）反演變換的概念

平面上，設已知一個以O點為圓心，R為半徑的圓O。平面上任一異于點O的點A，在OA或OA的延長線上取一點A1（如圖1 ），使得

OA·OA1=R2 ① 或OA1=R2/OA ②

我們稱點A1是點A關于圓O的反演點，圓O稱為反演圓或基圓，點O 稱為反演中心或反演極，R稱為反演半徑或反演冪。

由②式可見，如果點A在反演圓O內，即OAR。所以反演點A1位于圓O外。

反之若點A位于圓O外，則點A1位于圓O內。而當點A位于圓O上時，因為OA=R，所以OA1=R，即點A1也在圓O上且與點A重合，是反演的二重點，也叫不變點。

顯然，如果點A1是點A關于圓O的反演點，則點A也是點A1關于圓O的反演點。也就是，A、A1關于圓O互為反演點，有時也簡稱為互逆點。

在反演變換下，如果圖形F變為圖形F1，則F1稱為圖形F關于圓O的反形。而由上面可知F也是F1關于圓O的反形。

這說明，反演變換具有互逆性。

（二）無窮遠點

由反演變換的定義，我們可以看到反演中心O沒有反演對應點，即沒有反演點，因此反演變換不是一一變換，為了后面反演變換性質的講述和作圖中的討論，我們在下面引入“無窮遠點”。

首先考慮兩條直線，一條固定，另一條繞它的一個點（不是兩條直線的交點）旋轉，當它們趨近平行線的位置時，交點越移越遠，當兩直線成為真正平行時，交點消失。因此產生了熟悉的說法“平行線相交于無窮遠點”。

為了更一般的說明我們進行如下定義：

兩條或更多條直線相交于一點或共點，意思是以下兩種情況的任一種：或者有一個交點，所有直線都通過它；或者這些直線都平行。兩條或多條平行直線可以說成有一公共的無窮遠點，或者說在無窮遠處相交。

上述定義中兩條或多條直線有一個公共的無窮遠點就是這些直線平行的另一種說法。

二、反演變換的有關性質

為了統一圓和直線，把直線看作半徑為無窮大，圓心在它的垂線上的無窮遠點的圓。這樣直線和圓統稱為廣義圓。

（一）直線和圓的反形

（1）反演變換，把通過反演中心O的任何一條直線變成自己。即通過反演中心的任何直線都是該反演變換的不變圖形。

這是顯然的，設直線a與圓交于點M、N，對于射線OM來說，OM上的點A變成射線MA1上的點A1，即MO變成射線MA1。同理，對于射線ON也一樣。O點就對應于無窮運點。

（2）反演變換，把不通過反演中心O的任何一條直線變成一個通過反演中心的圓，而且這個圓在點O處的切線平行于該直線。

（3）反演變換，把通過反演中心O的任何一個圓變成一條不通過反演中心的直線而且該圓在點O處的切線平行于這條直線。

（4） 反演變換，把不通過反演中心O的任何一個圓變成一個圓。

（二）反演變換的保角性

為了介紹反演變換的保角性，我們先來了解一下有關角的概念。

設一條直線和一條直線相交，約定較小的那個角為它們的夾角；設一直線和一個圓相交，規定它們的夾角是指這條直線和圓在交點處的切線的夾角（如圖7）；若兩個圓相交，規定他們的夾角是指在交點處的切線的夾角（如圖8）。兩直線平行時，或者一直線和一個圓相切時，或者兩圓相切時，它們的夾角為零。

如果一直線和一圓的夾角為直角，則稱直線和圓直交或正交，當且僅當直線通過一圓的圓心時，直線才和圓直交；如果兩圓的夾角為直角，則稱這兩個圓直交或正交；直線和直線垂直時也說這兩條直線直交或正交[1]。

（5） 任何兩條直線在他們的交點A處的夾角，等于他們的反形在相應點A1處的夾角，但方向相反。

（6） 一條直線和一個圓在交點A的夾角，等于它們的反形在相應點A1處的夾角，但方向相反。

（7） 相交兩個圓在交點A處的夾角，等于它們的反形在相應點A1處的夾角，但方向相反。

由上面的性質可以得出下面的兩個重要結論。

結論1：反演變換把兩個相切，但切點不是反演中心的（廣義）圓，變為兩相切的（廣義）圓。

對于兩個相切于反演中心的（廣義）圓，它們的夾角為零，經反演變換后，由（1）、（3）可知，它們都變成直線，又由保角性可知，這兩條直線的夾角為零，因而是兩條平行直線。

結論2：反演變換把兩直交的（廣義）圓變成直交的（廣義）圓。