高中數學復習課教學的新視角

☉江蘇省宜興市丁蜀高級中學 宋 衛

高中數學復習課教學怎樣才能保持課堂鮮活的生命力是廣大高中數學教師一直研究的問題.事實上，教師在復習課教學中僅僅關注知識的回顧和整理是遠遠不夠的，數學思想方法的溝通才是復習課教學中最為重要的內容.因此，教師在復習課教學中首先應清楚課中各部分內容的重要程度，在課堂教學中做到重點突出、有的放矢.另外，教師可以在復習教學中立足小切口設計出形式多樣的復習教學并因此實現連點成線、以線帶面的復習效果.同時，教師還可以不斷變換視角對復習的內容進行新的思考與設計，使學生對復習活動保持持久的新鮮感與動力.本文是筆者在觀摩一節公開課后，結合執教教師在直線方程及其應用這一節的教學內容及所獲得的認識與理解來展現以下各教學環節.

一、創設情境，引入課題

1.直線方程的各種形式，如表1.

表1

點 法 向 式 a（x-x0）+b（y-y0）=0 d=（b，-a） n=（a，b）（存在時）k=-a b點斜式 y-y0=k（x-x0） d=（1，k） n=（k，-1） k斜截式 y=kx+b d=（1，k） n=（k，-1） k一般式ax+by+c=0（a，b不同時為零）d=（-b，a） n=（a，b）（存在時）k=-a b

2.直線傾斜角和斜率的關系，如圖1.

二、分析例題，探求方法

圖1

例題 如圖2，已知△ABC的三個頂點A（0，0），B（3，4），C（12，5），求：

（1）BC邊所在直線的點方向式方程；

（2）BC邊上的中線AD所在直線的一般式方程；

（3）BC邊上的高AE所在直線的方程.

圖2

解：（1）直線BC的一個方向向量是d=（9，1），直線BC經過點B（3，4），因此BC邊所在直線的點方向式方程是

（3）直線AE的一個法向量是B—→C=（9，1），直線經過A（0，0），因此直線AE的點法向式方程是9（x-0）+1（y-0）=0，即9x+y=0.

設計意圖：這是來自于學生作業題中的一個典型練習，教師在課堂上首先請一位學生上黑板板演并要求其他學生也在下面獨立解決，大多數學生都能較快地解決此題.教師在學生完成解題之后又引導學生對直線方程的常用求解辦法進行了總結與表述，使學生在總結歸納的過程中很好地理解了直線方程的獲得需要滿足兩個條件：條件一即題中條件涉及的點應該是不同的兩個點；條件二即求解直線方程需滿足一個點與一個可以刻畫直線方程的量.

教師緊接著又提出以下問題：我們在三角形中還學過哪些重要的線呢？大家想一想還能求出哪些線的方程呢？學生的鉆研勁頭在教師的提問中一下子得到了激發，從而也使變式探究異常精彩，學生經過一定的合作交流以后作出了以下變式：

變式1：在△ABC中，求∠A的平分線所在直線的方程.

解：∠A的平分線所在直線的方程：7x-9y=0.

變式2：過A作直線l，l將△ABC的面積分成13∶5兩部分，求直線l的方程.

解：直線l的方程為85x-171y=0或7x-9y=0.

（教師在講解過程中引導學生大膽發表自己的意見，使學生在闡述自己思路的過程中對直線方程的求解方法獲得了再一次的體驗與感悟，同時要求學生在分類討論的過程中能夠畫出圖形并感悟各條件之間的關系）

（教師在講解過程中能注意知識的回顧、滲透以及數形結合的思想方法，并在強化學生記憶的同時也為后續教學作好鋪墊）

變式3：過點B作直線與x、y軸的正半軸分別相交于M、N兩點，當△OMN面積最小時該直線方程如何？此時△OMN面積的最小值又是多少？

解：（1）如果k不存在，此時所求直線方程為x=3，但這與條件是不吻合的.

（2）如果k存在，設直線的斜率是k，此時直線方程是：y=k（x-3）+4，由題意可知k＜0.

令x=0得y=4-3k，

此時直線方程是4x+3y-24=0.

設計意圖：教師在運用斜率解題的教學中一定要讓學生意識到討論斜率是否存在十分重要，本題中k＜0的分析要結合圖形進行，這一過程能夠引導學生感悟挖掘題中隱含信息對正確解題的重要價值.教師在直線方程得出之后又引導學生對M、N兩點的坐標和B點坐標之間的關系展開進一步的研究和討論，并引導學生大膽表達自己的想法與思路，本題多種解法也使學生對待定系數法與代數法在這一幾何問題的解決中的運用過程與思想形成了清晰的認識和體會.

變式4（拓展）：過點B（3，4）作直線與x軸正半軸相交于R點，與直線y=4x于第一象限相交于S點，當△ORS的面積最小時該直線方程如何？

設計意圖：學生在變式3的探究與討論中很容易發現當△OMN面積最小時，點B正好是M、N的中點，教師此時提出了下列問題來啟發學生進一步思考：這會不會是一種巧合呢？如果不是巧合，那么我們又能得到哪些結論？隨后，教師安排學生在課下圍繞這些問題進行分組討論.事實上，學生在變式的研究與討論中也確實更好地感受到了質不變而形變的哲學思想，一題多解的探究更好地鍛煉了學生的解題思維，思維發散、拓展的過程使學生感受到數學知識、方法之間的內在聯系，學生在不斷的觀察、思考與分析中也對問題背后所隱藏的真相形成了更加清晰的認知與理解，數學學習的奇妙與美好也在這一過程中展現得淋漓盡致.

三、總結思考，提升能力

最后教師引導學生一起交流學習中的體會、感受與收獲，并圍繞本課教學重點進行總結.

1.知識點：本課知識點包含各種形式的直線方程、方程的應用以及求直線方程的方法、求直線方程的方法包含待定系數法以及確定兩個獨立條件后再求解.

2.思想方法：本課基于基礎原題及其變式所進行的復習教學涉及到了分類討論、數形結合、方程等多種思想方法的運用.

四、分層作業，鞏固拓展

1.面向全體學生布置的作業：（1）《導學》P13、P15-16、P18-19；（2）練習冊P14-3、8；

2.選做作業：結合本課研究內容自主設計一道練習題并完成.

點評：從本節課的觀摩與課后的交流中，我們不難看出，切口小、視角新是本課教學設計最為顯著的特征.切口小這一特征主要表現在所提的問題圍繞教學重點所設計，直線方程的求解方法以及過程中所涉及的數形結合、分類討論、化歸、方程等思想方法是本課復習教學的重點.視角新這一特征主要表現在從新的問題角度來實現舊知識的串聯，并依此對學生知識的生長點進行了有意義的構建.原有知識內容的歸納和整理在切口小、視角新的設計理念中得到了很好的展現.不僅如此，本節復習課教學在教師的精心設計與引導下實現了知識的再創造，這與華羅庚教授所提倡的換角度進行復習教學的理念是完全吻合的，學生在已學知識的復習中也獲得了新的感受與體驗，很多無效、無趣的教學也得到了很好的規避，多角度思考問題所進行的教學對學生也產生了潛移默化的影響，我們經常提及的高層次復習在本課的教學中得以有效達成.

總之，教師在高中數學復習課的教學中應善于創設或引導學生自主創設能夠理解的學習過程，仍將學習定位在教師傳授、學生接受這一層面的行為早就與當今教育理念相悖了，教師在教學中應基于學生已有知識與經驗進行課的設計與落實，引導學生在學習中形成自主構建知識的意識與習慣.概念教學中引領學生自主探究概念的形成；解題教學中引領學生對從無到有的思維與知識綜合應用進行自主體驗、感悟并掌握方法，使學生在充分體驗數學思考、創新魅力與樂趣的過程中真正成為學習的主人，學生分析、解決問題的能力以及創新能力才能真正得到有意義的鍛煉與提升，學生在不斷掌握“三基”基礎上才能在復習教學活動中獲得更多的感悟與收獲.