“測度”不同，“法”亦有別
——談幾何概型的分類求解

☉江蘇省石莊高級中學(xué) 顧永建

概率問題在高考中越來越凸顯出它的重要地位，其中幾何概型又因其與現(xiàn)實生活聯(lián)系密切，與幾何論證和計算有著密切關(guān)系，也日漸成為考查的一個熱點.古典概型及幾何概型中，基本事件的發(fā)生都是等可能性的，但是求解的方法是有差異的，本文主要從“測度”為長度、角度、面積、體積等幾個方面進行闡述.

一、“測度”與長度有關(guān)

如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何測度可以用長度表示，那么就可以判斷需要利用幾何概型的概率計算公式來求概率，即有解決此類問題的一般思路是將題給條件放置在數(shù)軸上或者轉(zhuǎn)化為線段進行分析，求出所求事件對應(yīng)的長度d，及全部事件對應(yīng)的長度D，然后代入上述公式進行計算.

例1已知a∈［0，6］，使得函數(shù)f（x）=lg（ax2-ax+1）的定義域為R的概率為______.

解析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)求出使得“函數(shù)f（x）的定義域是R”的a的范圍，根據(jù)區(qū)間長度的比值求出滿足條件的概率的值.若f（x）=lg（ax2-ax+1）的定義域為R，則函數(shù)g（x）=ax2-ax+1＞0恒成立，a=0時，顯然成立，a≠0時，只需

乍看本題求解的思路還是比較迷茫的，不能明確是古典概型還是幾何概型.根據(jù)a∈［0，6］及函數(shù)f（x）=lg（ax2-ax+1）的定義域為R，可以確定所求概率模型為幾何概型，“測度”為參數(shù)a的取值區(qū)間長度.同時，本題還考查了對數(shù)函數(shù)的定義域、對數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì).

二、“測度”與面積有關(guān)

當(dāng)題目中涉及面積問題，或者需要用兩個連續(xù)變量來描述某個隨機事件時，可以考慮用幾何概型的概率計算公式探究.此類問題求解的關(guān)鍵是正確構(gòu)造出與隨機事件對應(yīng)的幾何圖形，求出相關(guān)區(qū)域的面積，即測度d和D，然后代入上述公式進行計算表述.

圖1

本題的探究思路是利用向量的數(shù)量積知識將不等式進行轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)轉(zhuǎn)化得到的不等式組作出相應(yīng)的區(qū)域，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地求出兩個區(qū)域的面積，然后再利用公式進行計算.其中對于涉及到兩個變量的問題，常利用平面直角坐標(biāo)系把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來探究，求解過程中要注意平面圖形面積的求解技巧.

三、測度與體積有關(guān)的幾何概型

設(shè)有兩個區(qū)域d，D滿足d?D，若D為三維空間，點p落在D每一處都是等可能的，且點p落在區(qū)域d的概率與體積有關(guān)，可以選擇體積作為區(qū)域的測度，考慮利用幾何概型的概率計算公式進行求解.

例3 已知在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點O，則三棱錐O-PAB的體積不小于的概率為______.

解析：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形利用對應(yīng)的體積比值求出對應(yīng)的概率.如圖2所示，AD，BC，PC，PD的中點分別為E，F(xiàn)，G，H，當(dāng)點O在幾何體CDEFGH內(nèi)部或表面上時在幾何體CDEFGH中，

圖2

通過分析題意，本題的“測度”為幾何體的體積，為了求出所有符合條件的點，需要找出一個符合條件的界點，這里體現(xiàn)了點、線、面、體的相互轉(zhuǎn)化.

四、測度與角度有關(guān)的幾何概型

在求與角度有關(guān)的幾何概型時，要注意準(zhǔn)確找到D和d所表示的角度的值，同時要注意“角度”與“長度”的區(qū)別.

解析：因為在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于M，故考慮用角度作為測度來求解.如圖3所示，射線AM在∠BAC內(nèi)是等可能分布的，當(dāng)AM與高AE重合時，BM=1，故滿足BM＜1的射線AM在∠BAE內(nèi)，于是D=∠BAC=180°-（60°+45°）=75°，d=∠BAE=90°-

圖3

本題容易出現(xiàn)錯解，認(rèn)為“測度”為線段的長度.在閱讀題目時，要注意對語句的正確理解，尤其是背景相同的通源變式題.

五、用隨機模擬求幾何概型

對于一些區(qū)域的面積計算比較困難的幾何概型問題，可以采用計算器或計算機產(chǎn)生隨機數(shù)進行模擬計算.

例5 在長和寬分別為8和4的矩形區(qū)域內(nèi)有一橢圓，長軸長和短軸長分別為4和2，則向矩形區(qū)域內(nèi)投點，求點落在橢圓內(nèi)的概率.

解析：在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出矩形和橢圓的圖像，用隨機模擬法求得s的近似值.（1）利用計算器或計算機產(chǎn)生兩組（0，1）區(qū)間上的隨機數(shù)a和b，a=RAND，b=RAND.

（2）進行伸縮和平移變換：x=8a-4，y=4a-2（其中x，y分別為隨機點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，即-4≤x≤4，-2≤y≤2）.（3）向矩形區(qū)域內(nèi)投N個點，數(shù)出落在橢圓內(nèi)的如，做10000次試驗，即N=10000，模擬得到N1=6272，所

幾何概型的概率計算公式與古典概型的概率計算公式形式上類似，它們的求解思路相同，都是“比例解法”.同時幾何概型具有無限性、等可能性的特點.在幾何概型中，概率大小與區(qū)域形狀、位置無關(guān)，只與測度有關(guān)，因此關(guān)于測度的確定至關(guān)重要，需要對測度的類型進行精確定位.J