小議函數(shù)教學(xué)中“形”的重要性

☉江蘇省常熟市王淦昌中學(xué) 王利亞

第一，高中函數(shù)知識相比初中函數(shù)知識來說，其形式化程度驟然加深，特別諸如“任意”“存在”“恒有”這樣的高等數(shù)學(xué)邏輯用語的出現(xiàn)，讓學(xué)生一時難以適應(yīng)，抽象表達式f（x-2）=-f（x）等的出現(xiàn)、抽象函數(shù)符號f的引入，都大大影響了學(xué)生的認知，可以這么說，抽象化往往影響著函數(shù)知識的理解；

第二，較多知識的綜合運用往往讓函數(shù)知識尚不熟悉的學(xué)生寸步難行，從學(xué)生的反映來看，主要在于“懂而不會”，這成為學(xué)生中普遍存在的現(xiàn)象.

筆者以為，要熟練運用函數(shù)知識、提高函數(shù)認知、提升函數(shù)本質(zhì)的理解，初學(xué)者需要遵循學(xué)習(xí)的一般性規(guī)律：即從感性到理想，從具體到抽象.因此，教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想恰恰可以幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)函數(shù)，本文小議“形”的重要性.

一、概念教學(xué)中的以形輔數(shù)

數(shù)學(xué)概念是集抽象性、歸納性于一體的極度形式化的知識本質(zhì)的抽象.比如函數(shù)概念，是對其對應(yīng)屬性的一種高要求、特殊化的歸納，但是這一概念的表述對于初學(xué)者而言是形式化的、抽象的.教師的職責(zé)在于將抽象的函數(shù)相關(guān)概念用直觀的手段給予揭示，并能從揭示中讓學(xué)生獲得相關(guān)概念的正確認知.

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)概念，其以高度抽象性以及重要性成為概念教學(xué)之首.眾所周知，初中數(shù)學(xué)對于函數(shù)概念教學(xué)是以自變量和因變量的方式描述的，而且對于“任意”和“存在”這些高等數(shù)學(xué)用語在概念中的運用并不是特別強調(diào)，這與初中學(xué)生的認知接受能力有關(guān).而高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念的定義是明顯偏向高等數(shù)學(xué)：對于任意兩個非空數(shù)集A和B，集合A中的任何一個元素x在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，稱集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系為函數(shù)關(guān)系，記作函數(shù)關(guān)系f.這樣的抽象表述如何讓學(xué)生實現(xiàn)理解呢？需要“形”的直觀，給出下面四幅對應(yīng)關(guān)系：

設(shè)計意圖：高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)概念較為抽象，教師設(shè)計以“圖形”角度思考這一概念的理解過程，從感性的視角分別對概念中“任意的、唯一的、數(shù)集”等等概念中核心字眼角度思考辨別，提升對概念的理解力，這種教學(xué)手段是符合中學(xué)生心理預(yù)期的.顯然，上述第一幅圖和第三幅圖是函數(shù)關(guān)系，第二幅圖和第四幅圖只能說是一種對應(yīng)，其分別違背了概念中“任意的”和“數(shù)集”兩個特征，這也恰恰是教師常常向?qū)W生滲透的函數(shù)關(guān)系是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，主要指的是“一對一對應(yīng)”和“多對一對應(yīng)”，而“一對多對應(yīng)”必定不是函數(shù)關(guān)系.給出聯(lián)系，請學(xué)生思考：

練習(xí)：存在函數(shù)f（x），對任意x∈R都能滿足下列等式的是______.

（1）f（sin2x）=sinx；

微課在當(dāng)今時代得到大眾廣泛的關(guān)注正是由于其本身精簡、短小、形象和具有趣味性等多方面的優(yōu)勢，對教師的課前預(yù)習(xí)、課堂教學(xué)、課后鞏固等工作提供了莫大的便利，利用學(xué)生的碎片化時間加深了學(xué)生對于計算機專業(yè)知識的記憶和鞏固，從而提升了計算機專業(yè)教學(xué)的效率和質(zhì)量。在實際的高職院校計算機專業(yè)課程微課資源開發(fā)策略上要多考慮微課教育的優(yōu)勢，將微課應(yīng)用到實際中去，結(jié)合高職院校具體的計算機專業(yè)教學(xué)內(nèi)容為學(xué)生制作能夠提高其計算機專業(yè)水平的微課內(nèi)容，促進教學(xué)質(zhì)量的提高。

（2）f（sin2x）=x2+x；

（3）f（x2+1）=|x+1|；

（4）f（x2+2x）=|x+1|.

簡析：只要理解函數(shù)概念，對于這樣的概念性問題自然也不難思考，顯然從函數(shù)概念的視角，我們知道了函數(shù)關(guān)系是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，即“一對一對應(yīng)”和“多對一對應(yīng)”，那么對于這樣的概念考查自然胸有成竹、水到渠成了.對于（1），我們不妨令x=0，則此時的（f0）=0，即元素0在法則f下的對應(yīng)元素是0，再令x=，則此時的（f0）=1，即元素0在法則f下的對應(yīng)元素是1，那么根據(jù)函數(shù)概念的理解，即此時的對應(yīng)關(guān)系并非是函數(shù)關(guān)系，而“一對多對應(yīng)”必定不是函數(shù)關(guān)系，從而（1）并非函數(shù)法則.同理可驗證后續(xù)，不贅述.

思考：以形輔數(shù)的概念教學(xué)大大加深了概念在學(xué)生腦海中的牢固程度，從而使得形式化的概念學(xué)習(xí)獲得了更好的理解、思考、吸收，使得我們對于較為抽象的數(shù)學(xué)概念的認知獲得了新的教學(xué)方式，有助于學(xué)生的理解和鞏固.

二、具象函數(shù)中的以形輔數(shù)

具備具體解析式的函數(shù)，對于學(xué)生而言是比較容易接受的，但是隨著函數(shù)模型的增加、難度的增大，學(xué)生對函數(shù)綜合問題解決也凸顯一定的障礙，而往往具備思維直觀性的方式是幾何凸顯，因此在具象化模型下以形輔數(shù)成為問題解決的重要途徑.

圖1

分析：這是一個方程根的代數(shù)問題，而且是超越方程，顯然要每個根都求出來并不現(xiàn)實.需要我們轉(zhuǎn)換角度來思考，從幾何圖像上思考，將方程的根轉(zhuǎn)換為函數(shù)的零點，因此本題從幾何視角來說，即求函數(shù)=2sin（πx）（-2≤x≤4）所有交點的橫坐標(biāo)之和.思考兩個函數(shù)的圖像，其中函數(shù)是來源于初中數(shù)學(xué)基本右平移一個單位，中心為（1，0），函數(shù)g（x）=2sin（πx）（-2≤x≤4）的周期是2，且（1，0）恰為其一個中心，因此兩個函數(shù)有公共的中心（1，0）.繪制函數(shù)圖像，如圖1所示，顯然有八個零點，且以（1，0）呈現(xiàn)中心對稱，所以x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2，從而所有零點的和為8，所有根之和為8.

思考：不難發(fā)現(xiàn)，中學(xué)數(shù)學(xué)中的超越方程必定是以“形”為主要思考方式切入的，找對了問題解決的思路之后，要積極尋找函數(shù)（特別是已經(jīng)掌握的基本初等函數(shù)模型）的三要素、三大性質(zhì)，從而利用圖像作為解決問題的基本手段.

三、抽象函數(shù)中的以形輔數(shù)

抽象函數(shù)是函數(shù)學(xué)習(xí)中難度較大的函數(shù)載體，學(xué)生往往對其的學(xué)習(xí)和理解均差于具象函數(shù).學(xué)生對幾個明顯的抽象函數(shù)困難點，往往百思不得其解.比如：抽象函數(shù)定義域怎么求解？抽象函數(shù)間的表達式表述了什么含義？抽象函數(shù)的求解如何脫離抽象法則f進一步思考？等等.

（1）當(dāng)m=8時，求f（-4）的值；

（2）當(dāng)m=8且x∈［-8，8］時，求|f（x）|的最大值；

（3）對任意的實數(shù)m∈［0，2］，都存在一個正數(shù)K（m），使得當(dāng)x∈［0，K（m）］時，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此時相應(yīng)的m的值.

對于（1）：當(dāng)m=8時，顯然f（-4）=f（-2）=f（0）=7.

對于（2）：主要思考下x＜0部分其抽象表達式表述的含義是什么？通過第（1）小問，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＜0時，每間隔兩個單位，其函數(shù)值相同，因此不難發(fā)現(xiàn)該函數(shù)是部分周期函數(shù).考慮到抽象不利于問題的展開和解決，利用“形”將函數(shù)給予繪制.如圖2所示.對于（2），0≤x≤8時，f（x）∈［-9，7］，-8≤x＜0時，f（x）∈（-5，7］，所以x∈［-8，8］時，|f（x）|max=9.

圖2

思考：學(xué)生希望解決的函數(shù)問題其模型是有具體解析式的，對于缺乏具體解析式的函數(shù)，如何利用各種方法將其抽象性盡可能的感官化，是初學(xué)者亟需獲得的，因此教學(xué)要關(guān)注這種轉(zhuǎn)化、要多利用圖形的特征給予表示，使其獲得更好的理解.

總之，“形”在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)了感官的重要地位，對“形”的適度使用，大大加深了知識的理解和運用，使學(xué)習(xí)獲得更好的掌握.