有關(guān)拋物線切線與焦點(diǎn)的一些性質(zhì)

王 慶

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

近年來(lái)，作者用射影幾何的方法給出了二次曲線的一些有趣的性質(zhì)，其中，部分內(nèi)容寫成本文及《拋物線的一些性質(zhì)》[1]。研究發(fā)現(xiàn)，有些平面幾何問題用射影幾何研究更自然、條理更清楚，而用平面幾何方法處理則有難度。本文繼續(xù)用射影幾何的方法討論拋物線的性質(zhì)，特別是由拋物線的兩條切線與焦點(diǎn)得到的相似三角形的性質(zhì)，用到的射影幾何知識(shí)可參看[2-4]或其它高等幾何書籍。本文討論的部分問題來(lái)源于文獻(xiàn)[4]。

1 主要結(jié)果與證明

先給出一個(gè)在討論二次曲線問題時(shí)常用的性質(zhì)。

性質(zhì)1 設(shè)拋物線的切線交兩定切線于X,X′，點(diǎn)F是焦點(diǎn)，則∠XFX′是定角。

圖1 拋物線的切線交兩定切線圖：(a)X;(b)X′

∠X′FC=∠X′FB-∠CFB=∠X′FP-∠CFA=∠X′FP-∠X′FC-∠X′FA=-∠X′FC+∠AFP，

性質(zhì) 2 設(shè)拋物線上點(diǎn)A,B處切線交于C，F(xiàn)是焦點(diǎn)，則ΔACF,ΔCBF相似。如果X,X′是拋物線上切線與CA,CB的交點(diǎn)，則ΔXX′F也與ΔACF,ΔCBF相似。

證 圖2畫出了A,B在拋物線上不同位置的圖形，分別對(duì)應(yīng)于A,B在拋物線對(duì)稱軸的同一側(cè)或兩側(cè)。設(shè)拋物線的頂點(diǎn)D處切線交CA,CB分別于E,G。由于C是A,B處切線的交點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，∠CFA=∠CFB；類似有∠DFE=∠EFA, ∠DFG=∠GFB。E,G分別是拋物線頂點(diǎn)D處切線與A,B處切線的交點(diǎn)，由 [2] §4.4例5，F(xiàn)E⊥AE,FG⊥GB，四點(diǎn)C,E,F,G共圓，故有∠BCF=∠GEF[2]。而ΔAEF與ΔDEF相似，∠EAF=∠DEF=∠FCG，即∠CAF=∠FCB。這些證明了ΔACF與ΔCBF相似。

圖2 拋物線上的點(diǎn)A，B在拋物線上 不同位置的圖:(a)A;(b)B

ΔXX′F與ΔACF,ΔCBF的相似容易證明。

下面的性質(zhì)說(shuō)明拋物線也可以由性質(zhì)2中相似三角形確定。

性質(zhì) 3 設(shè)平面上ΔBCF與ΔCAF相似，點(diǎn)B,A在線段CF的兩側(cè)。則有與直線CB,CA分別切于B,A, 以F為焦點(diǎn)的拋物線。

圖3 △BCF與△CAF相似

證 如圖3，ΔBCF與ΔCAF相似，設(shè)B′,A′分別是F關(guān)于CB,CA的對(duì)稱點(diǎn)。于是BB′=BF,AA′=AF, ∠CB′B=∠CA′A=∠CFB=∠CFA，而CB′=CF=CA。從這些關(guān)系可得：

由性質(zhì)2、性質(zhì)3可得已知拋物線的焦點(diǎn)F及它的一條切線及其上切點(diǎn)A作拋物線的其它切線與切點(diǎn)的方法。 也可以得到已知拋物線的兩條切線及其上切點(diǎn)作拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的方法。

性質(zhì) 4 在拋物線上點(diǎn)A處切線上取兩點(diǎn)P,Q使PF=FQ，設(shè)R是過(guò)P,Q的切線的交點(diǎn)。則RF是拋物線的對(duì)稱軸。

圖4 拋物線上一點(diǎn)處切線上取兩點(diǎn)情形1 圖5 拋物線上一點(diǎn)處切線上取兩點(diǎn)情形2

證 如圖4或圖5，設(shè)過(guò)P,Q的切線上切點(diǎn)分別是C,D。由PF=FQ可得∠APF=∠AQF。由性質(zhì)2有許多相似三角形：

ΔCPY與ΔPAF；ΔAQF與ΔQDF；ΔCRF與ΔRDF。

因此，∠RCF=∠RDF, ∠CRF=∠FRD,ΔCRF與ΔDRF全等，C,D關(guān)于RF對(duì)稱。而R是拋物線上弦CD的極點(diǎn)，這證明拋物線平行于CD的弦的中點(diǎn)軌跡是RF，RF是拋物線的直徑。由CD⊥RF可知RF是拋物線的對(duì)稱軸。

另法：由ΔCPF與ΔPAF相似可得PF2=CF·AF；同理得：QF2=AF·DF。因此，CF=DF，再由∠RFC=∠RFD可知RF⊥CD，RF是對(duì)稱軸。

性質(zhì) 5 設(shè)拋物線上點(diǎn)A處切線與過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上點(diǎn)R處兩切線分別交于P,Q，則FP=FQ,F是焦點(diǎn)。

性質(zhì) 6 設(shè)拋物線上弦AB垂直于A處切線，T是A,B處切線的交點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，過(guò)A垂直于AF的直線交TF于C。則有TF=FC,CB⊥TC。

證 如圖6，由TA⊥AB,AF⊥AC可得∠TAF=∠BAC。由ΔATF,ΔTBF相似可得∠CTB=∠TAF=∠BAC，因此A,T,B,C共圓. 由TA⊥AB可得TC⊥CB.

性質(zhì) 7 設(shè)T是拋物線上點(diǎn)A,B處切線的交點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，過(guò)T的直徑交AB于M交拋物線于S。則有：

(1)AM2=4FS·SM；

(2)如果焦點(diǎn)F在弦AB上， 則4SF=AB；

(3)設(shè)平行于TM的直線交拋物線于L交AB于N，則有AN·NB=4FS·LN。

圖7過(guò)拋物線上兩點(diǎn)切線交點(diǎn)的直徑 圖8焦點(diǎn)在弦上 圖9平行拋物線的直徑

證 (1)二次曲線的直徑是平行弦中點(diǎn)的軌跡，拋物線的直徑都平行。因此，TM平行于拋物線的對(duì)稱軸。如圖7，設(shè)S處切線交TA于E，有AM=MB，TS=SM，AM=2ES。由拋物線在點(diǎn)A處切線的光學(xué)性質(zhì)及ΔAEF,ΔESF相似可知：∠ETS=∠FAT=∠FES，由點(diǎn)S處切線的光學(xué)性質(zhì)可得∠EST=∠ESF。因此，ΔETS,ΔFES相似，ES2=TS·SF，即有AM2=4FS·SM。

(3)LN與直徑TM平行，LN也是拋物線的直徑。如圖9，設(shè)過(guò)L作AB的平行線交TM于R，LR的極點(diǎn)(即LR與拋物線交點(diǎn)處切線的交點(diǎn))也在AM上，由 (1) 可得LR2=4FS·SR。因此

AN·NB=AM2-MN2=AM2-LR2=4FS·SM-4FS·SR=4FS·LN。

圖10 焦點(diǎn)弦端點(diǎn)處切線

性質(zhì) 8 設(shè)F,D分別是拋物線的焦點(diǎn)與頂點(diǎn)，T是焦點(diǎn)弦AB端點(diǎn)處切線的交點(diǎn)，則TF2=AF·FB=DF·AB。

證 如圖10，T是焦點(diǎn)弦AB端點(diǎn)處切線的交點(diǎn)，TA⊥TB，而TF是直角ΔFAB底邊上的垂線，TF2=AF·FB。設(shè)M是AB的中點(diǎn)，TM是共軛于弦AB的直徑與對(duì)稱軸DF平行。從拋物線切線的光學(xué)性質(zhì)可得TM=AM。設(shè)E是TM與拋物線的交點(diǎn)，TE=EM。由于T在準(zhǔn)線上，TE=EF，于是TF是∠DFE的平分線，E,D處切線的交點(diǎn)G也在TF上。由ΔEGF,ΔGDF相似 (性質(zhì)2) 及EG,AB平行可得TG=GF，

TF2=4GF2=4EF·DF=AB·DF。

性質(zhì) 9

圖11 圓與拋物線交于四點(diǎn)

(1)設(shè)圓與拋物線交于A,B,C,D四點(diǎn)，則AB,CD與拋物線對(duì)稱軸的夾角相等；

(2)設(shè)圓與拋物線交于B,C，在A處相切，與拋物線的對(duì)稱軸交于G及焦點(diǎn)F，則AC=BG，AB=CG。

證

(1)如圖11，設(shè)AB,CD交于圓內(nèi)點(diǎn)E，而QN,PL分別是共軛于拋物線弦AB,CD的直徑 (分別是拋物線平行于AB,CD的弦的中點(diǎn)軌跡)，P,Q在拋物線上，N,L分別是AB,CD的中點(diǎn)，G是過(guò)E平行于拋物線對(duì)稱軸的直線與拋物線的交點(diǎn)。由上面性質(zhì)7有，AE·EB=4FQ·EG，CE·ED=4FP·EG。由A,B,C,D四點(diǎn)共圓，從AE·EB=CE·ED及前兩式可得FP=FQ，因此點(diǎn)P,Q關(guān)于拋物線的軸對(duì)稱，P,Q處的切線與軸的夾角相等。而拋物線在P,Q處的切線分別平行于CD,AB(見 [2] §4.2的討論)[2]，這證明AB,CD與拋物線軸的夾角相等。由此可知，AC,BD與拋物線軸的夾角也相等。

圖12 圓與拋物線交于兩點(diǎn)，切與一點(diǎn)

性質(zhì) 10 設(shè)過(guò)焦點(diǎn)F作外切于拋物線的ΔABC的邊BC的垂線，與ΔABC的外接圓交于另一點(diǎn)D。則有

(1)AD垂直于拋物線的對(duì)稱軸；

(2)ΔABC的外接圓在焦點(diǎn)處切線與對(duì)稱軸的夾角等于其三邊與對(duì)稱軸夾角的代數(shù)和。

圖13 過(guò)焦點(diǎn)作外切于拋物線的三角形

證 (1) 我們知道：拋物線的焦點(diǎn)F在ΔABC的外接圓上，DF⊥BC。如圖13，設(shè)切線AB,AC與拋物線對(duì)稱軸的夾角分別是α,β，假設(shè)αβ。由焦點(diǎn)的光學(xué)性質(zhì)及性質(zhì)2給出的許多相似三角形可得于是，

而直線AF與對(duì)稱軸方向的夾角是β-α，這證明AD與對(duì)稱軸垂直。因此過(guò)F垂直于AD的直線就是拋物線的對(duì)稱軸。

(2)如圖13，進(jìn)一步設(shè)∠ABC=γ，∠ACB=τ，不難知道，α+β+γ+τ=π是ΔBCF的內(nèi)角和. 三邊AB,BC,CA與對(duì)稱軸的有向角分別是：α,α+γ, -β，它們的和是2α+γ-β。外接圓在焦點(diǎn)F處的切線與AF的夾角是β+τ。由 (1) 可知圓在F處的切線與對(duì)稱軸的夾角也是π-(β-α)-(β+τ)=2α+γ-β。

由 (1) 可以得到已知拋物線的一個(gè)外切三角形及對(duì)稱軸的方向求作拋物線焦點(diǎn)的方法。

性質(zhì) 11 設(shè)一族拋物線與兩定直線相切，與其中一條切于定點(diǎn)。則這些拋物線的焦點(diǎn)在一個(gè)圓上，準(zhǔn)線過(guò)定點(diǎn)。

圖14 一族拋物線與兩定直線相切

證 如圖14，設(shè)ξ,η是交于A的兩直線，B是ξ上定點(diǎn)。設(shè)拋物線與直線ξ,η相切，切點(diǎn)分別是B,C，焦點(diǎn)F。這樣的拋物線分別在直線ξ的兩側(cè)。由性質(zhì)2, ∠AFB=π-∠BAF-∠ABF=π-∠BAC是定角。這證明與直線ξ,η相切，ξ上切點(diǎn)是B的拋物線的焦點(diǎn)在圓上，這個(gè)圓過(guò)點(diǎn)A,B與AC相切，它的弦AB上的圓周角等于直線ξ,η的兩個(gè)夾角之一。

如圖，再作一過(guò)A,B的圓使之與原來(lái)的圓關(guān)于ξ對(duì)稱。取后一圓上點(diǎn)E使EB=BF，作EB的垂線交后一圓于D，則BD是此圓的直徑，因此D是定點(diǎn)。EB,FB與ξ的夾角相等，由性質(zhì)2的證明，ED是拋物線的準(zhǔn)線。這證明了滿足題中條件的拋物線的準(zhǔn)線過(guò)定點(diǎn)D。

另一方面，任取前一圓上異于A,B的點(diǎn)F，有唯一的η上點(diǎn)C使∠AFC=∠AFB，這時(shí)ΔBAF,ΔACF相似。由性質(zhì)3，有以F為焦點(diǎn)，與ξ,η分別切于B,C的拋物線。這些證明了性質(zhì)。

2 應(yīng) 用

以下是一些拋物線的問題[3-4]，有興趣的讀者可以試試。

1.已知拋物線上兩點(diǎn)B,C處切線AB,AC。作此拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，對(duì)稱軸。

2.設(shè)拋物線上點(diǎn)A,B的切線交于C，F(xiàn)是焦點(diǎn)，過(guò)A,B,C的圓與CF交于另一點(diǎn)D。則有CF=FD。

3.設(shè)A是拋物線上點(diǎn)P,Q處切線的交點(diǎn)，∠APQ是直角，PQ交準(zhǔn)線于T，則AT垂直于AQ。

4.設(shè)一族拋物線過(guò)兩定點(diǎn)A,B，且都以A為頂點(diǎn)，則這些拋物線過(guò)B的切線與過(guò)A的切線與法線的交點(diǎn)分別在兩個(gè)圓上。

5.設(shè)Y,Y′是拋物線的頂點(diǎn)D處切線上點(diǎn)，使得FY·FY′是常數(shù)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，則拋物線過(guò)Y,Y′的切線的交點(diǎn)在一個(gè)圓上。