啟發高中數學學困生學會思考的幾點體會*

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給小學生做問卷調查，評選最喜歡的科目時，數學總是榜上有名.但給高中生做問卷調查，喜歡數學的人的比例就非常低，甚至把數學列為最討厭的，當然這些學生中大多數是學困生.我對高中數學學困生做了很多次調查，了解他們的情況，其實他們一開始也曾嘗過一番努力.做練習的時候，不會做的題目就做兩遍，成績不見起色，就做第三遍，少數學困生，還做第四遍.可是重復做，卻遲遲無法進步，他們就會覺得非常沮喪，最后導致對數學厭倦.

如何提高學困生的數學成績，已經成為高中數學教師的一大難題.當然已經有很多教師在這方面做了很多努力，獲得一些好的經驗.其實學困生主要是他們的思維和正常學生的思維不同步，比正常學生的思維慢一些，抽象概括能力差一些.教師要想提高學困生的成績，首先要逐步改善學困生的思維方式，鼓勵他們逐步學會思考.為了實現這樣的教學目標，就要求教師在數學教學活動中，更多地關心學困生的思維過程，創設合適的教學情境、提出合適的問題，啟發學困生獨立思考并鼓勵他們與其他同學進行有價值的討論，讓學困生在掌握知識技能的同時，感悟數學的思想，積累數學思維的經驗，形成良好的思維品質.另一方面，教師也必須要努力去了解他們的困難，尤其是思維方面的困難，有時候要“降低教師自己的思維”去適應學困生的思維；有時候一個非常好的方法不用，硬要去尋找一個繁瑣的方法，這個過程對教師來說是痛苦的，但是看到學困生成績提高時，教師也是非常快樂的.

一、設計倒退的生活情境啟發思考

例1 一條鐵路線上原有n個車站，為了適應客運的需要，在這條鐵路線上又增加了m個車站，客運票增加了62種，求n，m.

反思：通過倒退1950年代的社會情境，使購票環境變得非常簡單，引導他離開現代復雜的購票環境，使得他愿意在最近發展區內高興地思考，從而使學困生順利求解.數學的教學過程應當給學生創造合理的機會，把課內與課外、知識與生活、理論與實踐有機統一起來，給學生的“悟”留有充分的時間和空間；使他們的思維結果在最近發展區內產生.

二、利用轉化計算啟發思考

例2 20個不加區分的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒內的球數不小于它的編號數，求不同的放法種數.

例2是文[1]中第104頁上的一個作業題，只有答案：120種(沒有過程).怎么講解呢？有的教師查找了一些奧賽輔導資料，其中部分奧賽書只有相關定理(沒有定理的證明)，文[2]中有定理的證明，但是用“重復組合”知識與方法證明.這些知識與方法對學困生更難以接受，我設計出一個學困生也能接受的情境與方法如下.

反思：這個方法我以前沒有想過，因為用奧賽書的結論可以簡單解決問題了；這個方法是學困生逼我想的(我還要感謝他們).當x=0這種具體情況出現時，(y,z)的方法種數也就變“簡單”了，學困生的胸中也出現了一個看得見的直觀方法.所以我們真的應該關注學困生，研究學困生，以學生為本，在觀察、研究、反思的道路上會收獲屬于自己的教育智慧.

三、設計直觀的情境啟發思考

圖1

例3 (2017·高考全國卷丙)如圖1，四面體ABCD中，ΔABC是正三角形，AD=CD.

(1)證明：AC⊥BD；

(2)已知ΔACD是直角三角形，AB=BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比．

例3的(1)小題取AC的中點O，連接DO，BO，易證.

對于(2)小題，因為在立體幾何中很多直觀圖形不像平面幾何圖形直觀，依次引導學困生畫出ΔADC，ΔAEC，ΔBOD，并證明這三個三角形都是等腰直角三角形，每次畫好平面圖形后都會直觀想到：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；題目難度自然降低.這個題目的難點是在直觀圖中，學生看不出ΔADC，ΔAEC是等腰直角三角形，更不知道哪個等于90°，所以很多學困生產生誤解.

反思：很多時候在立體幾何中直觀圖形不直觀.這種情況給很多學生帶來了麻煩，有時候給一些學生帶來了誤導，所以我們教師要千方百計站在學困生的角度去想問題，絕不能一句“這個題簡單”.說這幾個字容易，但是可能對學困生的自信心是嚴重的打擊.有時候對于真正簡單的題，學困生不會做時，我們也可以假裝絞盡腦汁在想，使學困生覺得老師做題也是要通過艱苦的努力才能解決的.教師冥思苦想的表情可能對學困生的自信心有意外的提高.

四、合理利用已知數據啟發思考

例4 自然數按下表的規律排列，則上起第2007行，左起第2008列的數為( )

A．20072B．20082

C．2006×2007

D．2007×2008

標準答案：選D.經觀察可得這個自然數表的排列特點：

①第一列的每個數都是完全平方數，并且恰好等于它所在行數的平方，即第n行的第1個數為n2；②第一行第n個數為(n-1)2+1；③第n行從第1個數至第n個數依次遞減1；④第n列從第1個數至第n個數依次遞增1.故上起第2007行，左起第2008列的數，應是第2008列的第2007個數，即為[(2008-1)2+1]+2006=2007×2008.

以上標準答案對學困生來講是較難的，注意到要求解的數是上起第2007行，左起第2008列，我引導一個學困生先觀察第1行第2列的數，再觀察第2行第3列的數，再觀察第3行第4列的數，再觀察第4行第5列的數，他很快通過類比選對了答案，他的那種成功的快樂感立即洋溢在臉上，因為他比尖子學生還先做對題目.

反思：小題小做已經成為解決選擇題的一種好方法，這種方法的基礎也是有“根據”的類比思維，以事實、數據和已經得到證實的知識作為依據進行推理和思維.對學困生更應該鼓勵他們去實踐，去尋找題目的某些特點，然后啟發他們歸納和概括，讓他們在解題的過程中找到成功的喜悅，從而使他們逐步樹立學好數學的信心.

五、設計閱讀的環節啟發思考

例5 如圖2，已知V是ΔABC外一點，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC．求證AC⊥AB．

對于例5，學困生一般從整體上感受，這個結論是顯然的，就是不知道從哪里開始寫？怎樣寫？實在要他寫，他就繞著圈子亂寫；主要表現是邏輯混亂、雜亂無章，教師追問他，他就說：老師我寫的哪一句話不成立嗎？當然他寫的每一句話從圖形的本質來看都是對的，他把一些正確的事實用混亂邏輯連在一起；他用前后顛倒的順序把一些結果連在一起.對于這種情況，我先不評價他，要他先把課本中的定理閱讀幾遍：

圖2

定理[3]兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

一直等他對以上定理很熟練時，再問他怎樣理解這個定理，要應用這個定理，必須有什么線線垂直作基礎？此時他想到要先找兩個平面的交線VA，再通過點B作BD⊥VA交VA于D，然后證明BD⊥平面VAC.最后順利證明該題.

反思：閱讀是看書，但不是一般意義上的瀏覽，看書領會其內容才是閱讀，領會定理內容意味著把看到的東西納入已有的知識和經驗中去，使其連成一體.這個題中的輔助線，不能通過教師直接灌輸使學困生掌握，而是要引導他們多次閱讀課本，讓他們在閱讀的過程中，理解→想象→分析→推理→判斷→創意→自我理論化→解決問題.

六、對常規問題猜想啟發思考

例6 (2015·高考全國卷Ⅱ)已知函f(x)=lnx+a(1-x)．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a-2時，求a的取值范圍．

分析：大多數情況下，猜想教學是在開放性問題或探究性問題中進行的，在常規問題中很少進行猜想教學.近幾年的全國卷高考數學試題在引導鼓勵學生進行猜想方面做了很多很好的努力，這是全國卷匠心獨運的地方.例6的(2)小題是常規問題，用常規思維求解，難度增加，因為其中需要求解方程lna+a-1=0，不等式lna+a-1>0，和不等式lna+a-1<0，求解這三個方程和不等式是難點，怎樣突破這個難點？這就需要猜想探路.超越方程一般沒有解析解，而只有數值解或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解來.對于這個超越方程鼓勵學生從數學審美的角度去想問題，自然猜想a=1時lna+a-1=0.這個猜想對于平時訓練有素的學生不難，對于平時沒有訓練的學生可能無法繼續求解.

反思：著名數學家G.波利亞強調數學教師不僅要教學生證明，而且要教學生猜想.所以在數學教學中，教師應該把"引導學生進行猜想"作為一種教學手段，引導學生在各種情境下持之以恒地觀察現象，研究問題，形成猜想，促使學生積極參與學習的全過程，主動地獲取知識.教師應根據不同的教學內容，抓住不同的時機，創設猜想的情景，讓學生去大膽猜想.在猜想教學過程中，不同層次的學生都會有不同的收獲，學困生也可以在特殊情況的求解過程中獲得成就感，增強自信心，尖子生可以繼續拓展、延伸與推廣.

先猜想，后證明，這是數學發現的思路，也是最見數學功力的，對于例6、7要求學生有“猜想”的自覺性.對一個真正的問題我們可以說結果是算出來的，是證出來的，因為算和證是終結性表達，是必須履行的手續.但履行手續前是需要實質性工作的，這個實質性工作就是猜想.

七、建構幾何模型啟發思考

圖3

反思：本題利用平面幾何知識，構造幾何模型來解決向量問題，淡化繁雜的代數計算，淡化非數學本質的純粹說明，使“向量”變得容易些.笛卡爾說，沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了，因此用幾何這種方式來表達事物是非常有益的.人們在學習數學時需要不斷的經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比等思維過程.從心理學的角度看，數學教學需要一些直觀性的設計，作為學生理解抽象數學結論的現實基礎，作為學生主動建構、發現新知識的認知基礎，作為學生探究性學習的基礎.

八、設計活動啟發思考

這個題是選擇題中的壓軸題，文[4]的解答方法是，先建立適當的平面直角坐標系，再求圓的方程，然后利用圓的參數方程和三角函數中的輔助角公式，最后求出λ+μ的最大值.這個方法較復雜，其書寫的文字比解答題的第17題還多很多(此處從略).而且沒有學習過參數方程的高一和高二好學生看不懂，學困生更看不懂.有沒有簡單的方法呢，有沒有學困生也能理解的方法呢？我設計了一個有關的活動，使學困生也能簡單解答此題.

圖4

圖5

更為可喜的是部分學生(包括一些學困生)繼續思考得到了如下一些結論，不同層次的學生獲得了不同程度的提高.

反思：本次活動主要材料紙中的一些等距離平行線，給每個操作者有利的刺激，給學困生也提供了強有力的情境.這些平行線不斷的激發他們的感覺和思維，使他們有意或無意的聯系題目，真的讓他們聯想不斷，尤其是這次活動中的計算量不大，只要直覺思考，就可以整體把握問題的本質特征；使得平時計算能力不好的學困生也可以揚長避短，獲得成功的喜悅.這次活動使每一個學生都能深入學習過程中，深入知識的形成過程、轉化過程中.在活動中理解了知識所蘊含的思想和智慧；隨著活動的深入，他們敢于質疑，表現出不唯書、不唯師，不滿足于現成的答案和說明.在這次活動中，他們感覺到自己的智慧和力量，體驗到創新學習的快樂.在活動中他們也獲得了積極的情感體驗.作為教師要努力尋找這樣的既經濟又高效的活動，要千方百計去開發一些直觀易懂的有利于學困生的活動.

總之，筆者感覺高中數學對某些學生來說有一定難度，但是筆者愿意引導學困生在克服困難中努力前進，在克服困難中增長才干，培養堅強的意志力，在克服困難中提高思考能力.當然這是一個富有魅力又充滿挑戰的課題，很希望各位同仁批評指正.