無窮大概念案例教學的微課教學設計

陳小蕾 鄭立飛

【摘要】研究無窮大概念案例教學的微課教學設計，基于微課的教學特點，結合教學案例，通過電子教學手段的演示，實例應用講解，多角度多環節激發學生學習興趣，引導學生自主學習，培養學生分析問題、解決問題的能力。

【關鍵詞】無窮大 微課 案例 教學設計

【中圖分類號】O171 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）02-0023-01

微課作為現代信息技術與傳統教學相融合的教學方式在教學過程中已被廣泛應用。與傳統的講授式課堂比較，微課具有主題突出、針對性強、精致緊湊、資源豐富、短小精煉等優勢。將微課融入高等數學課程學習和教學中，能有效的利用學生的空余時間，更加生動形象的對知識點進行多角度的剖析和講解，從而提升課程的整體教學效果。案例教學是對某些抽象的具體概念，用更為直觀簡單的方式，從而讓學生能夠深入淺出的了解和建立正確的理論概念。現在很多定義都是以案例教學進行引入，并結合現代信息教學手段，有利于提高學生的學習興趣，并富于思考和啟發，能更好的引導學生自主學習，提高學習的積極性、主動性和探索性[1]。

以案例教學[2]引入，整個教學過程包括：實例引入→概念講解→應用舉例→應用拓展→小結思考五個環節，教學時常約12分鐘。

一、以問引入 實例解答

1.問題：什么是無窮大？如何正確理解無窮大定義？

2.引例：希爾伯特無窮旅館-希爾伯特旅館與別的旅館不同的地方是：它的房間數目是無限多（即無窮多房間）。其他的旅館如果客滿了，那就再也不能接受新客人了。可房間數目無限多的旅館不一樣，“客滿”不等于“不能接受新客人”！希爾伯特無窮旅館對多一個新客人，經理將原來1號房間的客人移到2號房間，2號房間的客人移到3號房間，……，第n號房間的客人移到第n+1號房間去。這樣移動的結果將會空出第1號房間，這樣便能住下新來的客人了。

提問：如果再來無限多個客人，希爾伯特無窮旅館是否也可以接待？

設計意圖 通過PPT動畫演示以及現實住宿經歷，使學生直觀理解 “無窮大”本質，讓課堂生動活潑，吸引學生注意力，激發學生探討和解決問題的積極性，并能將抽象和形象的具體定義進行區分和聯系。

二、概念學習 給出本質

1.無窮大的定義

語言描述性定義：亦稱“無限大”。一個變量在變化過程中其絕對值永遠大于任意給定正數，一般用符號∞來表示。

2.從數列到函數

顯然，希爾伯特無窮旅館描述的是數列為無窮大的一個過程，能直觀反映出，無窮大是一個極限為無窮的變量，而非一個具體的值，與現實中很大的數必須加以區分，才能正確建立無窮大的正確概念。

借助數列和函數之間的關系，以具體數列為例進行直觀引入，后將數列換成為函數，最終給出函數結構下的無窮大的精確定義。

數學精確定義[3]：設函數f（x）在x0的某一個去心鄰域內有定義（或|x|大于某一正數時有定義）。如果對于任意給定的正數M（不論它多大），總存在正數δ（或正數X），只要適合不等式0<|x-x0|<δ（或|x|>M），對應的函數值f（x）總滿足不等式|f（x）|>M，則稱函數f（x）為當x→x0（或→∞）時的無窮大。

設計意圖 在討論無窮大概念時，利用數列和函數之間的相互關系進行逐層引入，結合常數運算法則，將無窮大與常數進行直觀區別，由形象到抽象，符合學生的認知過程，能較好的對抽象定義進行分析和理解。

三、應用舉例 鞏固概念

例1 已知數列{xn}，且xn=n，證明。

例2 證明。

強調無窮大是極限為無窮的變量，在敘述時必須有自變量的變化過程，不可直接說數列或函數為無窮大。例1的結論就給出希爾伯特旅館的特殊性。

設計意圖 作為概念的應用，選擇簡單又具有代表性的兩個例子，包含數列和函數兩類結構，利用板書給出完整證明過程，培養學生規范書寫的能力。

四、應用拓展 豐富教學

1.在電學中，有許多和無窮大相關的定義。利用萬用表測電阻斷路時萬用表會顯示1.（借助于PPT演示具體的實際圖例），表示電阻無窮大，電路斷路或者超量程。

2.科赫雪花曲線

任意畫一個正三角形，并把每一邊三等分；取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉；重復上述兩步，畫出更小的三角形。一直重復，直到無窮，所畫出的曲線叫做科赫曲線。曲線任何處不可導，即任何地點都是不平滑的，總長度趨向無窮大，曲線上任意兩點沿邊界路程無窮大。

設計意圖 通過具體的應用舉例和經典的數學案例-科赫雪花曲線的周長討論，讓理論與具體實踐相結合，一方面展現了數學的趣味性，一方面讓學生了解大學數學的實際應用價值，拓展學生的數學視野，提高數學素養，豐富數學文化的學習。

五、小結思考 深化學習

1.小結課程的主要內容和知識點。

2.預留思考：未給出自變量變化方式的函數是正確的描述方式嗎？例如：是無窮大，對嗎？如果不對，請給出對的敘述方式。

3.復習無窮小和無窮大的定義，預習其相關運算。

設計意圖 小結本次微課的主要內容，強調學生對于無窮大概念的理解和在應用中的注意事項。告知課程結束之后復習和預習的相關內容，有助于建立完善的知識體系。思考題的作用是對內容的復習和延續，鼓勵學生進行自主思考和學習。

本次案例教學的微課設計從實例出發，引出問題，分析問題，圍繞問題展開具體討論，給出抽象的數學概念，深入了解問題本質，并結合實際問題，幫助學生鞏固知識，豐富課堂教學形式。同時結合傳統的課堂講授模式，以教師為主，引導學生從淺到深，從形象到抽象，從實際到理論遞進式學習。本文研究的僅是在大學數學中最為基礎的一個知識點，希望能夠通過此類案例的微課教學，有選擇性、針對性的將微課等在線課程手段結合案例教學與傳統教學模式，更好的提高大學數學的教學質量和學習效果。

參考文獻：

[1]馮穎.常數項級數概念的微課教學設計[J].高等數學研究.2017，20（3）：17-19.

[2]熊傳霞.淺析案例教學法在數學課堂中的運用[J].科技教育.2015（24）：140.

[3]同濟大學數學系.高等數學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.