淺談學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)

黃顯斌

摘要：培養(yǎng)學生的思維品質是實施素質教育的需要，是適應高考能力要求的需要。本文從培養(yǎng)學生思維的嚴謹性、靈活性、廣闊性、深刻性及創(chuàng)造性等方面探討學生的思維品質培養(yǎng)。

關鍵詞：數(shù)學教學；思維能力；培養(yǎng)

培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維品質是數(shù)學教育方法的一個重要認為和重要目標。高考歷來非常重視對數(shù)學思想方法的考查，“數(shù)學思想的體操”，而思維則是數(shù)學學習的靈魂。教師在教學中，要重視、加強對學生思維品質的培養(yǎng)。良好的思維品質只要包括思維的嚴謹性、靈活性、廣闊性、深刻性及創(chuàng)造性。下面我例談在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生思維品質的點滴體會。請專家斧正。

一、培養(yǎng)學生思維的嚴謹性

數(shù)學是一門有高度嚴謹性的科學。思維的嚴謹性是指思維 活動中能嚴格控制思維的方向和檢查思維過程的一種思維品質。在教學過程中，教師應通過設問、質疑、反例、錯例辨析等的訓練，使學生善于訂正和發(fā)現(xiàn)運算與推理中的失誤之處，找到癥結所在，重新進行計算與思考，根據(jù)自己的思維能去偽存真。在學生的學習過程中由于年齡點及元認知水平的制約，我們常常發(fā)現(xiàn)學生考慮問題不周全的現(xiàn)象。如解不等式時忽視對a的正負性和a=0的討論；設直線方程后忽視斜率不存在的討論；對已知不等式的解集為R，求m的取值范圍時忽視對2m-1=0的討論等等。又如：

例1、已知函數(shù)則f（-2）=

（A）-3 （B）21 （C）0 （D）不存在

這是一次測驗的題，在133人（兩個班）的答卷中有48.8%的同學選（C）答案，他們的解答是：

事實上

如何使學生思維更加嚴謹，養(yǎng)成良好的思維習慣呢？在教學中，教師應力求讓學生對概念，定理、公式、法則等理解透徹，準確掌握，有意識地選擇一些學生往往考慮不嚴謹而易出錯的習題進行訓練，有利于培養(yǎng)學生思維的嚴謹性。

二、培養(yǎng)學生思維的靈活性

思維的靈活性是指思維過程中的簡縮性與快速性，是指思路清晰，解決問題迅速，又能當機立斷，不優(yōu)柔寡斷，又不輕率從事。靈活性使人能夠在緊迫的情況下，迅速作出正確判斷。思維的靈活性也需要知識的結構化，通過對復雜問題的聚斂演變，引導學生分析綜合、概括轉化、看清問題的基本結構，在腦海里能夠迅速再現(xiàn)基礎知識與經(jīng)驗，并不斷積累，形成良性循環(huán)，逐步培養(yǎng)思維的靈活性。數(shù)學的應用范圍很廣泛，要解決的問題各種各樣，這就要求學生有機智靈敏的頭腦，隨機應變的能力。在現(xiàn)實中，學生容易在解題中形成機械模仿、被頂記憶的定勢思維，因此，在教學中教師應避免生搬硬套，思路呆板單一的教學模式的情形，應根據(jù)教學內容，選擇不同的教學方法，在重視通法的前提下，通過靈活選擇解題妙法或一題多解等對學生進行訓練，培養(yǎng)學生的思維靈活性。

例2、中心為（0、0），一焦點坐標為，截直線

（A） （B）

（C） （D）

這題如果直接求解會較繁，考慮到選擇題的大前提是“四個選擇之中有且只有一個正確答案”，因此，用篩選法求解：焦點在Y軸上，否定（B）（C），又，否定（D），故選擇（A）

例3、求出所有這樣的正整數(shù)a，使得二次方程

此題若按常規(guī)方法，根據(jù)求根式求解，運算太大太繁。而用變元法求解，解法則更為簡便。

解：原方程變形為：

（1）因a是正整數(shù)，所以

但，0，1，2，將這些數(shù)代入

（1）可以求得滿足要求的所有正整數(shù)a的值為1，3，6，10，。

例4、設s、t為實數(shù)，求

分析：如圖，作直線L：

和橢圓弧C：

顯然，直線L上的點（x，y）到橢圓弧c上的點的距離的平方為（，C上能達到最小的點為（3，0），所以，d所求的最小值為2.

此題的條件簡單，式子復雜，許多同學無法下手，考慮到所給的式子與兩點間距公式很相似，當采用數(shù)形結合法時就迎刃而解了。

通過以上引導學生仔細觀察、聯(lián)想，把握住題目的特點，從而獲得題目的最佳解法，在教學中引導學生用善變的觀點看問題，從變中求異，變中求新，從而培養(yǎng)學生思維的靈活性。

三、培養(yǎng)學生思維的廣闊性

思維廣闊性指的是思路的廣度，既是對問題進行全方位、多角度、多層次的思考，而不是孤立地、局部地、零碎拼湊地思考。要培養(yǎng)學生善于發(fā)現(xiàn)問題的共性與個性，迅速找出解決問題突破口的能力。高中數(shù)學即具有各分科的獨立性，又具有知識體系的綜合性，因此它要求學生的思維具有一定的廣度，在教學中，教師應引導學生多從不同角度分析問題，橫向聯(lián)想，拓寬思路，力求一題多解，達到培養(yǎng)學生思維的廣闊性。

例5、設x，y，求f（x，y）=的最小值。

分析1：由已知條件，為發(fā)散點產生聯(lián)想：可用三角代換破題。設，則f（x，y）==（其中）

當，f（x，y）=6，

當=-1時，f（x，y）min=4。

分析2：從待求的結論為散發(fā)點，產生聯(lián)想：復數(shù)的，模，用復數(shù)變換法求解。

由題設，可設z=（3-4i），由復數(shù)的性質得：所以，f （x，y）=6，f（x，y）=6，f（x，y）=4.

分析3：從待求的結論為散發(fā)點，產生聯(lián)想：

A （x，y），B（3，-4）兩點間的距離得解法三。

因為表示以（0，0 ）為圓心，半徑為1的圓，而表示圓上的點（x，y）到點A（3，-4）的距離，設直線OA交圓O于P，P兩點，易得f（x，y）==

F（x，y）=

本題從已知或結論的結構分析可聯(lián)想引用三角、復數(shù)、解析幾何等多個角度進行求解，尋求解答方案，不僅有利于溝通各分科知識的聯(lián)系，而且有利于培養(yǎng)學生思維的廣闊性。

四、培養(yǎng)學生思維的深刻性

思維的深刻性是一切思維品質的基礎。它是指某一數(shù)學問題提出后，經(jīng)過觀察思考后，能抓住問題的本質，而在一般情況下，學生對問題的思考往往只停留在初級階段這需要教師耐心地引導和精心地培植，學習數(shù)學不能只滿足于一知半解的膚淺認知上，而應把握知識的縱向聯(lián)系，透徹理解知識的本質。

例6、已知橢圓上一動點P（x，y）和一定點A（a，0）（0

分析：

至此，學生會出現(xiàn)一下兩種錯誤：

（1）由得

（2） 由-3

又（0，3），本題無解

錯誤（1）是由于對變量的取值范圍的理解不深刻而導致的；

錯誤（2）是由于學生只看問題的表面形式，沒有深刻理解二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值是需要分類討論所致的。

正確的解法是：

（1）若

（2）若

解得a=4

在教學中，教師應創(chuàng)設教學情景，逐步誘導學生透過現(xiàn)象看本質，挖掘問題的隱含條件等，培養(yǎng)學生思維的深刻性。

五、培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性

思維的創(chuàng)造性是指通過探索、嘗試發(fā)現(xiàn)“新”的規(guī)律，得出“新”結論的一種認知活動。它主要表現(xiàn)為思維的獨特性、新穎性和創(chuàng)造性。我們在教學中，首先，要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，弘揚創(chuàng)新精神，通過模范人物自強不息的創(chuàng)造精神，激勵學生樹立時代的使命感和責任感，將自己的一生融入不懈的創(chuàng)新實踐中。其次要培養(yǎng)學生沖破思維定勢，大膽爭論質疑，獨立判斷思考，突破從眾心理，敢于直面失敗，勇于探索新知。創(chuàng)造性思維是獲取和發(fā)現(xiàn)新知識活動中所具備的一種重要思維。表現(xiàn)為思維不循常規(guī)，不拘常法，不落俗套，尋求變異，勇于創(chuàng)新他又常以廣泛的聯(lián)想、探知、推廣、及轉換等數(shù)學思想方法為基礎。當今時代，是一個信息的時代，是科技迅猛發(fā)展的時代培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性，是實施素質教育、培養(yǎng)跨世紀人才的需要，由于種種原因，學生常滿足于常規(guī)方法，而不去探究新法、妙法，這樣，學生的獨創(chuàng)性思維能力是不會得到提高的，在教學中，教師應該鼓勵學生敢于標新立異，尋求與眾不同的解法，發(fā)現(xiàn)思維的閃光點，即予鼓勵和支持，培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性。

例7、求值：

分析1：此題的常規(guī)解法是降冪、和積互化求出結果。在重視通法的前提下，可以引導學生用善變的觀點看問題，從所給的條件充分發(fā)揮聯(lián)想尋求新的解法。仔細觀察此題的形式與余弦定理的形式相同，故可以嘗試利用三角求解，從而得出巧妙的解法。略解如下：

構造三角形如圖，使，

則 由正弦定理得，BC=

由余弦定理得：

分析2：（用對稱式解）原式=

設

則

所以兩式相減得

例8、點P（8，1）平分雙曲線（1）的一條弦，求這條弦所在的直線方程。

這題的常規(guī)解法是用待定系數(shù)法或用“設點法”求出斜率，早用點斜式求出弦所在的直線方程。但通過細心觀察，我們發(fā)現(xiàn)（學生觀察到的）直線上的點A（x，y）關于點P（8，1）的對稱點B是（16-x，2-y），將其代入雙曲線方程得：

（2）聯(lián)立（1）（2）消去平方項得：2x-y-15=0即為所求。

這個解法簡便多了，雖然學生對這種解法的合理性認識不夠充分，但我卻肯定了他們的獨創(chuàng)精神，并鼓勵他們繼續(xù)研究這種解法的合理性。事實上，雙曲線就是雙曲線關于點P（8，1）的對稱雙曲線，兩對稱雙曲線的公共弦必被P點平分，故2x-y-15=0為所求。

總之，各種思維品質不是孤立的，而是互相聯(lián)系的，思維能力的培養(yǎng)，不可能一蹴而就，它需要長期不懈的努力，在數(shù)學教學中，教師要轉變教育教學觀念，改進教學方法，營造和諧寬松的教學情境，積極引導學生不斷探索，創(chuàng)新，積極引導學生廣泛地、深刻地進行思維，適時的提出假設，構思，啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決新的問題。在中學數(shù)學教學這塊沃土上，只要我們辛勤耕耘，必將能培養(yǎng)出具有良好思維素質的人才。

參考文獻：

[1]《中學數(shù)學教材分析》（上）（下）

[2]《高考數(shù)學能力考查與題型設計》，高等教育出版社：

[3]周慶軍.《對初中數(shù)學教學“減輕負擔，提高質量”的思考》