多元視角剖析高中數學幾何對稱題

☉江蘇省南京市東山外國語學校 王玉清

對稱的本質是指兩個物體或兩個圖形相對和相稱，對稱問題是高中數學中的常見問題之一，用解析幾何的方法研究對稱問題是高中數學教學內容的重要應用，也是處理高中數學幾何問題的思維方法，幾何對稱問題是高考數學中重要題型之一，一直受到一線教師的關注.本文以高中數學幾何對稱題為研究對象，著力于多個角度探討幾何對稱題的解題方法，以期實現學生解題能力的不斷提升，推動課堂教學效率的提高.

一、幾何對稱問題的分類思考

在高中解析幾何中，對稱問題涉及“中心對稱與軸對稱”兩種類型；中心對稱是指兩點連成線段，關于該線段的中點對稱，一般的處理手段為：若點M（x1，y1）和點N（x2，y2）關于點O（x0，y0）對稱，則它們之間坐標滿足x0=的中垂線對稱，“垂直、平分”是構建方程的關鍵條件，一般處理手段為：令點M（x1，y1）和點N（x2，y2）關于直線y=

二、幾何對稱問題的多元剖析

例1 若在拋物線y=ax2-1上存在兩點關于直線l：x+y=0對稱，試求實數a的取值范圍.y

圖1

方法1：易知a>0，根據題意構建拋物線與直線l圖形，如圖1所示，令M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線上關于直線l對稱的兩點，連接MN，根據幾何關系可知，直線l為線段MN的垂直平分線，直線l與線段MN的交點為P（x0，y0），可令直線MN的函

點評：此解法是借助于一元二次方程的判別式構建不等式求解變量范圍，解決本題的關鍵是借助于拋物線上的兩個關于對稱軸對稱的點，構建直線與拋物線存在兩個交點，即函數方程Δ＞0；巧妙運用中點坐標代入對稱軸方程，將引入的未知參量b消去，進而得出所求參量a的取值范圍.

點評：此解法主要運用拋物線上存在兩個關于直線x+y=0對稱的點，采取替換方式構建方程組，借助于代數運算構建關于x1的一元二次方程，根據判別式形成不等式關系求出變量a的取值范圍.顯然，這種解法思路清晰、過程簡潔，充分展現解析幾何中位置與代數中數量關系的靈活轉換，此解法中將解析幾何數學思想體現得“淋漓盡致”.

點評：此解法中將兩點坐標代入拋物線方程，采用代數變形的方式求出兩個對稱點的中點P的坐標，利用中點一定在拋物線圖形內部的幾何特點構建不等式，進而求出變量a的取值范圍，這也是此解法的關鍵之處；可見，運用了點和曲線的位置特征構建不等關系進行求解問題，不失為一種極其有效的數學思想方法.

例2 直線a和直線b關于直線l：3x+4y-1=0對稱，已知直線a的方程為2x+y-4=0，試求直線b的方程.

圖2

點評：本題處理的手段具有一定的特殊性，首先在直線a上確定一個特殊點A（2，0），根據對稱性，構建直線AB⊥l（A、B兩點關于直線l對稱），根據對稱性特征列方P，聯立方程組求出P（3，-2），再根據直線b上存在B、P兩點，求出直線b的方程；顯然，本題中特殊點的引入大大簡化了代數運算，也是成功解題的關鍵之處.

方法2：根據題意，直線a、b關于對稱軸l：3x+4y-1=0對稱，令直線a上存在動點A（x1，y1），在直線b上的對稱點為B（x，y），直線AB⊥l且線段AB的中點在直線l上，則線a與直線l、直線b存在交點方程：2x+y-4=0，可直線b的方程為：2x+11y+16=0.

點評：此法關鍵在于對稱軸L為線段AB的中垂線，在直線a上任取一動點A（x1，y1），根據中垂線特征構建方程組，建立x、y與x1、y1的關系，最終得出直線b的方程；本題中涉及多個變量，對學生的能力要求較高，教師可以借助于典型案例剖析，引導學生辨析各個變量的內涵，掌握合理的解題規律，不斷提升數學解題能力.

三、結束語

總而言之，本文中探討的典型案例是以對稱為背景的求解參數變量范圍的問題，處理問題的主導思想是利用直線與曲線交點的幾何條件轉化成代數方程、代數不等式的形成進行求解.眾所周知，對稱問題是數學高考中的重點、難點和熱點，處理這類問題可以從多個角度進行思考，抓住幾何對稱性特征與代數運算相結合，高效處理此類問題，進而達到“事半功倍、減負增效”的目的.F