一道解三角形課堂練習題的變式探究

☉江蘇省張家港市樂余高級中學 王慶龍

課本是高中數學教學和學習的根據地，課本是高考命題的策源地，課本練習題是課本的重要組成部分.在平時的教學中，課本練習題是課堂練習的主要部分，適當對課本練習題進行變式探究，可以達到舉一反三，觸類旁通的效果，也發揮了課本練習的最大功效.以下是筆者對課本中的一道解三角形練習題進行變式探究，以饗讀者.

圖1

人教A版必修5教材高中數學第一章解三角形1.2應用舉例第21頁練習第2題：有一塊四邊形土地的形狀如圖1所示，它的三條邊的長分別是50m，60m，70m，兩個內角是127°和132°，求四邊形的面積（精確到0.1m2）.

本題考查了正弦定理、余弦定理、以及三角形的面積公式，也考查了化歸與轉化的思想，將四邊形的面積化歸為兩個三角形面積之和，但計算相關數據時，需要借助計算器，但是只會計算器算，不進行筆算，不利于培養學生的運算求解能力，也不利于對解三角形中相關算理的理解.在此筆者順勢引導學生，對這道試題進行了變式探究.

二、變式探究

思路1：將上述練習題目題設中的數據改變，不給出具體的角度，給定內角∠A與∠C為互補關系，并給出四條邊的具體長度，有以下變式1：

變式1：四邊形ABCD的內角∠A與∠C互補，AB=2，BC=6，CD=DA=4，

（1）求∠C和BD；

（2）求四邊形ABCD的面積.

分析：（1）先利用余弦定理列出關系，再結合方程思想求解；（2）將四邊形面積轉化為三角形面積求解.

點評：本題考查余弦定理和三角形的面積公式.本題中將四邊形的面積轉化為三角形的面積求解，考查了應用意識和化歸的轉化思想.

思路2：將題設條件中的四邊形設置為圓內接四邊形，并給出四邊長度，求四邊形面積.

變式2：圓內接四邊形ABCD的邊長分別為AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，則四邊形ABCD的面積是______.

分析：先利用圓內接四邊形的性質得出內對角的關系，再利用余弦定理列出關系，再結合方程思想求解，最后將四邊形面積轉化為三角形面積求解.

解：由圓內接四邊形的性質，可得∠A+∠C=π，

所以cosC=-cosA，sinA=sinC.

由題設及余弦定理可知，

圖3

點評：本解法利用余弦定理解方程組得出cosA的值，再由三角函數平方關系式得出sinA的值，最后將四邊形ABCD的面積化歸為△ABD和△BCD的面積和，利用三角形面積公式解答.

思路3：在高考解三角形的考查中，通常將解三角形與三角恒等變換等進行綜合考查.將題設再進行改編，可得到如下變式3.

評注：本題將三角恒等變換與解三角形結合起來，考查了二倍角公式、誘導公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎知識，還考查運算求解能力、推理論證能力，以及函數與方程、化歸與轉化等數學思想.本題的關鍵體現在以下兩點，一是利用角的關系消角，體現了消元的思想；二是用余弦定理列方程組求三角函數值，體現了方程思想.

三、教學啟示

1.羅增儒說：“一旦獲解，就立即產生感情上的滿足，從而導致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯過了提高的機會，無異于入寶山而空返.”本例在對數學課本練習的教學中，沒有停留在解出題目上，而是解題后進行了變式探究.通過一題多變，培養學生的轉向機智及思維的應變性，實現提高發散思維的變通性.把課本練習題通過變換條件，變換結論，變換命題等，使之變為更有價值，有新意的新問題，從而應用更多的知識來解決問題，獲得“一題多練”、“一題多得”的效果.

2.本例課本練習教學中，通過變式探究，切實達到以解三角形的教學為載體，培養了學生數學運算的核心素養，也培養了學生的邏輯推理能力，也使數學課本習題的教學價值得到充分提升.

3.高考是高中數學教學的指揮棒.在設置課本練習的變式題時，要根據學生的實際學情控制好變式題目的難度，要遵循高考數學考試大綱的要求，遵循不超綱的原則.以上三個變式題目全部改編自高考數學試題.其中，變式1和變式2改編自2014年新課標全國卷Ⅱ文科第17題，變式3改編自2015年四川卷理科第19題.