與圓、圓錐曲線切線、切點(diǎn)弦有關(guān)的定點(diǎn)、定直線問題解法淺探

☉廣東省廣州市真光中學(xué) 楊 兵

在數(shù)學(xué)解析幾何的題型中，有許多題型是證明動(dòng)直線過定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其中有一類題型與圓及圓錐曲線的切線、切點(diǎn)弦有關(guān)，下面就探討這一類問題的解法.

我們知道：過圓x2+y2=r2（r＞0）上任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2，從圓x2+y2=r2（r＞0）外任意一點(diǎn)P（x0，y0）作圓的切線，切點(diǎn)弦方程為x0x+y0y=r2，兩者形式一點(diǎn)P（x0，y0）作橢圓的切線所得切點(diǎn)弦方程，兩者皆為意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程，與從雙曲b＞0）外任意一點(diǎn)P（x0，y0）作雙曲線的切線所得切點(diǎn)弦方拋物線y2=2px（p＞0）上任意一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程，與從拋物線y2=2px（p＞0）外任意一點(diǎn)P（x0，y0）作拋物線的切線所得切點(diǎn)弦方程，兩者皆為y0y=p（x0+x）.若曲線外任意一點(diǎn)P（x0，y0）在定直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0，C≠0）上，則所作的切點(diǎn)弦所在直線過定點(diǎn).下面以圓x2+y2=r2（r＞0）的切點(diǎn)弦所在直線為例給予證明.

證明：因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在圓x2+y2=r2（r＞0）外，所以過點(diǎn)P（x0，y0）向圓x2+y2=r2（r＞0）作切線，所得切點(diǎn)弦方程為x0x+y0y=r2. ① 又因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0，C≠0）上，所以Ax0+By0+C=0. ②直線與圓x2+y2=r2（r＞0）相交，在所得的弦的兩端點(diǎn)處作圓的切線，兩條切線的交點(diǎn)在定直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0，C≠0）上.同理，對(duì)于圓錐曲線也有上述相似的結(jié)論，對(duì)于橢圓，定點(diǎn)

圖1

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)T（-2，t）（t∈R）作圓O：x2+y2=2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.求證：直線AB過定點(diǎn)（與t無關(guān)）.

分析：根據(jù)圓的切點(diǎn)弦方程，得到直線AB的方程，再令變量t的系數(shù)為0，得出結(jié)論.

證明：根據(jù)圓的切點(diǎn)弦方程，得直線AB的方程為：-2x+ty=2，令y=0，得x=-1，所以直線AB過定點(diǎn)（-1，0）.

分析：先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的切點(diǎn)弦方程得到AB的方程，然后根據(jù)方程恒成立，令變量的系數(shù)為0，得出結(jié)論.

證明：如圖2，由于點(diǎn)P在直線l：x-y-4=0上，設(shè)P（x0，x0-4），則根據(jù)橢圓的切點(diǎn)弦方程，得直線AB的方程為4（4y+3）=0.

圖2

所以當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB恒過定點(diǎn)

圖3

分析：設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的切點(diǎn)弦方程，得到直線AB的方程，再根據(jù)直線AB過定點(diǎn)M（3，1），得到關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的方程.

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x′，y′），根據(jù)雙曲線的切點(diǎn)弦方程，得直線AB的直線方程為點(diǎn)M（3，1）在直線AB上，所

所以點(diǎn)P的軌跡方程為2x-y-2=0.

（注：該直線上各點(diǎn)均在雙曲線外，均符合題意）

例4 如圖4，已知拋物線C：y2=4x和定點(diǎn)M（2，4），過點(diǎn)M的直線交拋物線C于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A、B分別作拋物線C的切線，兩切線交于點(diǎn)P，若△PAB的面積為28，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖4

分析：設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的切點(diǎn)弦方程，得到直線AB的方程，再根據(jù)直線AB過點(diǎn)M（2，4），得到點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足的條件，再根據(jù)△PAB的面積求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則根據(jù)拋物線的切點(diǎn)弦方程，得直線AB的方程為y0y=2（x0+x），即2x-y0y+2x0=0.因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)M（2，4），則4-4y0+2x0=0，即x0=2y0-2，故點(diǎn)P（2y0-2，y0），直線AB的方程為2x-y0y+4y0-4=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立去x，得y2-2y0y+8y0-8=0，則Δ=4y02-32y0+32＞0，y1+y2=2y0，y1·y2=8y0-8，則線段AB的長(zhǎng)度為|AB|=

從上述解法中我們可以發(fā)現(xiàn)運(yùn)用切線的性質(zhì)、切點(diǎn)弦的性質(zhì)解此類題比較容易，我們應(yīng)該掌握這些性質(zhì)，并能夠熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)解題，這樣能夠提高我們的解題速度與解題能力.J