一道幾何證明題的方法與研究

牛 鑫

（遼寧省大連市第七十六中學，遼寧 大連）

初中幾何是數學學習的重要內容。學好幾何不僅對于初中數學的學習有極大的幫助，而且對高中數學的學習也有一定影響。幾何學更能夠培養學生的邏輯思維及抽象思維能力。但多數同學感覺證明幾何題時沒有思路，特別是對一些需要添加輔助線的幾何題感到無從下手，因而失去了學習幾何的信心。因此教給學生解題思路和解題技巧是幫助學生提高分析問題、解決問題能力的關鍵。下面就以一道2014遼寧大連一模幾何證明題的某一問來探究如何分析幾何證明題，采用構造法解決幾何證明題。

問題：（2014遼寧大連一模）如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在BC上，點E，F分別在AD和AD的延長線上，且∠AEC=∠BAC，BF∥CE.

（1）求證：∠AFB與∠BAC互補

（2）圖1中是否存在與AF相等的線段？若存在，請找出，并加以證明，若不存在，說明理由。

圖1

探究兩條線段之間的數量關系，一般都需要通過構造兩個三角形全等來實現。如何添加輔助線，利用已有的邊和角去構造出全等的三角形，以及怎樣證明兩個角相等，這些幾何問題的證明思路學生比較陌生，解決這些問題的方法都需要逐步在課堂滲透，引導學生不斷感悟，并將學會的方法進行遷移。

多種解法，一個思想

【證法 1】（1）如圖 2，∵BF∥CE，∴∠AFB=∠CEF

∵∠CEF與∠AEC互補，∠AEC=∠BAC，

∴∠CEF與∠BAC互補.∴∠AFB與∠BAC互補

（2）存在，CE=AF.

圖2

如圖2，在AF上取一點G，使AG=BF

∵∠AFB+∠BAC=180°=∠AFB+（∠BAF+∠CAF），

∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°，

∴∠ABF=∠CAF

又 ∵AB=AC，∴△ABF≌△CAG

∴AF=CG，∠AFB=∠CGA

又 ∵∠AFB=∠CEF，∴∠CGA=∠CEF.

∴CE=CG.∴CE=AF.

【點評】證明線段CE與AF相等，可以轉化為證明包含CE邊的三角形與△ABF全等，通過挖掘已知條件，發現∠ABF=∠CAF，又AB=AC，這時還缺一個條件，于是從SAS（邊角邊）證明三角形全等切入，在AF上截取AG=BF。從一條對應邊相等，一組對應角相等入手，再構造一組對應邊相等，這樣便可構造出一對三角形全等。

下面在該題的其余解法中選擇兩種供參考。

圖3

圖4

【證法2】如圖3，構造與△ABF全等的三角形。在AF上取一點 G，使得 CG=CA，則 CG=BA，∠CGA=∠CAG，而∠GAC=∠ABF，所以∠CGA=∠ABF，又 BF∥CE，則∠BFA=∠CEG，從而△ABF≌△CEG，所以CE=AF。此方法的關鍵是通過作等腰構造出與∠CAG相等的角。

【證法3】如圖4，我們也可以構造與△ACE全等的三角形。根據同角的補角相等，則∠AFG=∠AEC。可以考慮從這對角相等入手，還需要引入一條輔助線，既能帶來邊相等也能帶來角相等，于是在BF的延長線上取一點G，使得AG=AB，即構造等腰三角形來實現。

我們發現遇到兩個角互補的問題，可以通過構造已知邊的等腰也可構造求證邊的等腰，從而為證明三角形全等作準備。在作輔助線的過程中，注意不要破壞題目中原有的條件。

構造思想是數學思想的一種思考方式，而構造法是數學方法中的一種。構造性的思想決定了如何構造，怎么構造，構造后怎么解決等問題。構造法是根據原問題的條件和結構來進行分析觀察，然后通過聯想原有的知識進行遷移變換，由于每個人的知識層次不同，解題經驗不同，思考的方向不同，這也決定了形式也是不同的，所以構造法的靈活性很大，一個問題可能有多種不同的構造方式。

通過上面的分析可以知道，在探究兩條線段之間的數量關系時，我們可以從一邊一角即一組邊對應相等，一組角對應相等，通過輔助線構造出一個三角形與確定的另一個三角形全等。但值得注意的是，在證明角相等的問題時，暴露出學生的不足之處，需要引導學生進一步總結推理角相等的方法，需要我們在課堂上給予學生充分的時間和空間，進一步來完善學生的幾何證明推理能力。

我們所給出的各種思路能幫助學生進行構造性思維的訓練和理解，同時讓學生從本質上理解構造法的意義，并且在訓練中提高學生的創新能力。構造法需要學生有良好的知識框架，才能建立起知識之間的內在聯系，才能更好地進行構造，所以要將所學的知識系統化、有序化，經常整理知識，分析它們之間的內在聯系，建立良好的知識框架才能培養出好的構造思想。