數學廣角

李國品

[摘 要]教學有法，而無定法，“雞兔同籠”問題的教學，確實讓教師們絞盡腦汁。只是因為它比較抽象，學生難以接受，因此培養學生的思維能力、實踐能力迫在眉睫。

[關鍵詞]教學；數學；學習；小學生；興趣；方法

一、數學廣角——“雞兔同籠”問題的意義

“雞兔同籠”問題集趣味性、解題策略的多樣性、應用的廣泛性于一體，具有訓練智能的教育功能和價值，是實施開放式教學的好題材。教材呈現兩種基本的解題思路：列表法和假設法。列表法能直觀反映數據的變化，學生比較容易接受，但數據較大時比較繁瑣，適用性有限；假設法是一種算術方法，計算比較簡便，是解決此類問題的一種策略，但算理抽象，理解有一定難度。對于“雞兔同籠”問題，一部分學生在此以前接觸過，比如參加過“奧數”的，但多數學生還缺少獨立解決問題的策略，沒有體會到解決問題策略的多樣性。所以，教學中，主要采用教師適當講解與學生自主探究相結合的教學方式，讓學生在嘗試探索交流比較中，弄清“雞兔同籠”問題的結構特征和解題策略，經歷多樣化解題的過程，初步形成解決此類問題的一般性策略。在掌握解決問題的方法后，引導學生反思提升，通過雞兔同籠問題與生活中類似問題的比較，幫助學生建立“雞兔同籠”結構特點和解決模型。

二、“雞兔同籠”問題的教學方法

1.創設情境，激發學生的學習興趣。數學教學活動必須激發學生的學習興趣，調動學生積極性，引發學生的思考。上課伊始，教師出示主題情景圖，利用《孫子算經》中的“雞兔同籠”這一著名的數學趣題作為故事引入，生動地呈現出“雞兔同籠”問題，對學生進行我國古代數學文化的熏陶和感染。隨后，教師提出：“雞兔同籠”問題為什么會流傳至今呢？這既能讓學生領略到這些問題的數學魅力，又能引發學生對學習和研究這類問題的數學價值產生更深入的思考，激起了他們探究這一數學問題的興趣和欲望。

2.尊重學生差異，讓學生體會解決問題的不同思路和方法。在教育教學中，教師要學生體會解決問題的不同思路和方法是很關鍵的。注意滲透化繁為簡的思路。針對“雞兔同籠”問題原題中的數據較大，不利于首次接觸該類問題的學生進行問題的探究，因此采用教材的資源進行教學。意圖是從比較簡單的問題入手，讓有個體差異的學生嘗試解決，并結合討論，著力引導學生從體驗“雞兔同籠”中雞兔的頭數和腳的只數關系到用猜測法、列表法、假設法和列方程解答的方法，經歷逐步解決問題的過程。給予他們充足的空間多角度地思考，運用不同的方法探索問題的解決，進而達到方法的優化，實現了轉化學生的學習方式，培養他們實踐能力的目的。在問題的解決過程中，教師根據學生的不同解題思路和方法，適時地加以總結和歸納，注意引導學生理解解決這類問題的三種方法：

第一種方法是列表法。這種方法實質是枚舉法，適合于問題中的數據比較的情況。因為列表法直觀，所以學生也容易接受和理解。教師先出示表格，讓學生試著把表格補充完整，最后根據腳的總只數去判斷哪一組數據是正確的。如人教版數學第八冊第104頁例1，籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？

列表法：

雞 8 7 6 5 4 3 2 1 0

兔 0 1 2 3 4 5 6 7 8

腳的只數 16 18 20 22 24 26 28 30 32

從表中數據可知雞是3只，兔是5只。

第二種方法是假設法。這種方法有利于培養學生的邏輯推理能力。假設籠子里都是雞，那么兔就共有8×2﹦16只腳，這樣就比問題中多26-16﹦10只腳。因為剛才是把兔子當成雞，一只兔子少算了兩只腳，那么多出的10只腳就是兔子的只數：10÷2﹦5只兔子。所以，雞就有8-5﹦3只。反之，可以假設籠子里都是兔子，那么就總共有8×4﹦32只腳，這樣就比問題中少32-26﹦6只腳。因為剛才是把雞當成兔子。一只雞多算了兩只腳，那么多出的6只腳就是雞的只數：6÷2﹦3只。所以兔子就有8-3﹦5只。

第三種方法是列方程解。這種方法有助于學生體會代數方法的一般性。列方程解是一種順向思維，也便于學生的理解。雖然列方程解決問題是學生比較熟悉的，但是教師要著重注意引導學生找準問題中的等量關系，即，雞的只數+兔的只數﹦總頭數，雞腳的只數+兔腳的只數﹦腳的總只數。這樣，學生不難理解，1.如果設雞有x只，那么根據總頭數，兔就有（8-X）只，再根據每只雞兩只腳，每只兔四只腳的事實，結合題中的等量關系就能列出方程：2X+4（8-X）﹦26。2.如果設兔有X只，那么雞就有（8-X）只，根據題中的等量關系就可以得出方程：4X+2（8-X）﹦26。學生只要列出方程，解方程就會是一件輕而易舉的事情了。

三、拓寬視野運用知識模型解決問題

在日常的生活實際中，“雞兔同籠”問題有很多的變式，通過讓學生運用解決“雞兔同籠”問題的方法來解決現實生活中的相關問題，這對學生的學習有很大的幫助。教學中，充分利用教材“做一做”中的“龜鶴問題”。有龜和鶴共40只，龜的腿和鶴的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？假設籠子里都是鶴，那么就共有40×2﹦80條，這樣就比問題中少112-80﹦32條。因為剛才是把龜當成鶴，一只龜少算了兩條腿，那么少出的32條就是鶴的只數：32÷2﹦16只。所以，龜的只數就有40-16﹦24只。反之，可以假設籠子里都是龜，那么就共有40×4﹦160條，這樣就比問題中多160-112﹦48條。因為剛才是把鶴當成龜，一只鶴多算了兩條腿，那么多出的48條腿就是鶴的條數：48÷2﹦24只。所以龜的只數就有40-24﹦16只。這是個流傳于日本的民間數學趣題，租船、植樹等三個問題資源來進行轉化，讓學生用解決“雞兔同籠”問題的知識模型解決這些變式題，收到了良好的效果，這一方面起到了鞏固知識的作用，學生感受到了數學方法之間的內在聯系，另一方面拓寬了學生的視野，體會到“雞兔同籠”問題在生活中的廣泛應用，從而激起學生熱愛生活及學習數學的興趣，進而感受到數學學習的價值。

在練習設計中，我們要求學生自主探索、充分合作、互相啟發，讓他們嘗試解決生活中的相關問題。通過練習，不僅促進學生進一步領略了數學文化的特有魅力，更是培養了他們的思維能力、邏輯推理能力、轉化能力、實踐能力等。

參考文獻：

[1]九年制義務教育《數學新課程標準》.

[2]斯苗兒，《“解決問題”教學的堅守與突圍》《小學數學教育》.2008（7）.