高中數學教學中突破數學思維障礙的實踐與思考

摘要：高中數學教學活動的關鍵是啟發學生學會數學思考，引導學生會學數學、會用數學;在教學中，教師應結合相應的教學內容，轉變教學方式，改進學生的學習方式，以問題的解決為途徑，突破數學思維障礙，提高學生解決問題的能力，發展學生的思維能力.

關鍵詞：思維;高中數學教學;問題解決

引言：《2016版高中數學新課程標準》指出，高中數學教學活動的關鍵是啟發學生學會數學思考，引導學生會學數學、會用數學;在教學中，教師應結合相應的教學內容，培養學生從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.數學問題解決的差異代表了不同的數學思維表現形式，從數學問題解決的角度分析，數學思維總是指向問題的分析、問題的變換和問題的最后解決[1].在數學教學實踐中，筆者發現很多學生在數學學習中都遇到過這些困惑：有些題目一聽老師講解或一看答案，就明白了，但自己做題時卻怎么也想不出來;還有很多學生在考試中，曾做過的原題，能正確解答，題目稍作改變，就不知如何下手了;更有甚者，對曾做過、老師也講過并且當時也聽明白了的題目，隔段時間再遇到還是不會.這說明，學生雖然學會了題目的不少具體解法，但并沒有真正提升數學思維，在問題的解決過程中還是遇到了數學思維障礙.因此，轉變教學方式，改進學生的學習方式，以問題的解決為途徑，突破數學思維障礙，提高學生解決問題的能力，發展學生的思維能力;既是新課程標準的要求，也是改變學生的數學學習現狀、促進學生可持續發展的需要.

一、追本溯源，打好思維發展的基礎，培養學生思維的嚴密性

數學概念是數學思維的細胞，是數學解題能力的根本所在[2]筆者在教學實踐中發現，凡是游離在主題概念之外“規定”的地方，往往是學生在解決問題時，想不到和考慮不全的地方.例如，子集的概念中，規定了空集是任何集合的子集，在解決子集的有關問題時，學生就往往漏掉集合是空集的討論.共線向量的概念中規定了零向量與任何向量是共線的，在解決向量共線的有關問題時，學生就往往漏掉向量為零向量的討論.此外，很多學生在學習數學概念和定理時，只重結論，輕視條件，導致應用時出現錯誤.如，在研究直線與圓錐曲線關系的有關問題時，直線與圓錐曲線方程聯立、消元后，往往會想不到二次項系數是否為零的討論.再如在已知數列前 項和 求通項 時，想不到 的條件，忽略了 時的情況;在等比數列求和時忘記 時的特殊情況.因此，在數學教學時，要特別重視概念和定理教學時的“第一次”，第一次就要讓學生通過探究、試誤等對概念和定理有一個正確的、完整的認知，并在應用中不斷強化和反思.

二、一題多解，突破慣性思維，培養學生的發散思維和思維的靈活性

一題多解是突破學生慣性思維，培養發散思維的好方法，在教學中，教師要啟發引導學生從不同的角度審視問題，不斷合作探究出更多更好的解決問題的方法，讓學生在有限的時間里，從不同角度思考問題，活躍思維，開闊視野，從而突破慣性思維，提升學生的思維能力和運用知識靈活解決問題的能力.

例1、設 ，若 恒成立，求正實數 的取值范圍.

解析：原命題等價于 恒成立，求正實數 的取值范圍.

角度1：構造函數，轉化為函數最值問題，這個角度學生容易想到，但需要分類討論.

令 ，通過 研究函數 的最小值分兩類求解.

角度2：能否避開分類討論？注意到條件 ，可以變量分離，通過研究 的圖象與 的關系解決問題.

三、一題多變，引導學生深度思考，培養學生思維的全面性和嚴謹性

一題多變，可以變設問也可以變條件，變設問探究可以引導學生深度挖掘在同一條件下所涉及的各方面問題，通過多角度的問題解決，培養學生思維的全面性;在數學問題中一個條件的細小變化就可能引起結果和解決過程的很大差異，變換條件探究可以引導學深度思考，加強學生對知識間聯系的認識，培養學生思維的嚴謹性.

例2、已知 的三個內角 對應的邊分別是 且 ，

求 周長的取值范圍.

解析：利用正弦定理把周長轉化為角 的函數 ，其中 ，可求得 .

這個問題解決后，可以通過條件的等價變，加強變，以及條件不變的情況下，多個出題方向的探尋，引導學生不斷思考、進一步探究.

變條件

（1） 條件改為等價條件角 成等差數列，

（2） 條件改為等價條件

（3） 條件改為等價條件

（4） 條件改為等價條件

（5） 此條件加強為條件 ，且 為銳角三角形.求解時在原題的基礎上角 的范圍變成了 ，同理可求的 .

變設問

（1）求 面積的取值范圍.可轉化為函數 來求解.

（2）求 的取值范圍. 可轉化為函數 來求解.

（3）求 型表達式的取值范圍. 可轉化為函數 型函數來求解.

（4）求 邊上的高的取值范圍. 可轉化為函數 來求解.

（5）若 ， 的面積為 求 的最小值.可由三角形面積公式和余弦定理來求解.

四、角色轉換，提高學生思維的獨立性，培養學生的批判性思維

通過創設情境，把由老師點評學生的錯誤點，轉換為由學生找錯在哪里？并點評，由老師講轉換為學生講，可以激發學生思考的原動力，提高學生思維的獨立性與嚴密性，進而也培養了學生的批判性思維.

例3、已知函數 ，若函數 有兩個零點，求 的取值范圍.

教學中教師可先展示一個解析過程：原命題等價于 有兩個解，令 ，等價于 與 有兩個交點. ，令 ，當 時 ，且 在定義域上單調遞減，可得 在 上單調遞增，在 上單調遞減，得到 的最大值為 ，故 .

然后由學生思考、討論、評判以上解析是否正確，若不正確，指出錯在哪里？由學生合作探究出錯誤的原因在于忽視了該函數圖像的“漸近線”，誤認為當 時， 而實際上應該是 . 的圖象應該如圖所示：

正確答案是：當 時， 有2個零點.

五、注重數形結合和直觀想象，利用形象思維突破抽象思維障礙

數學的概念、命題本來是抽象的，學習理解時就會有一定的障礙，而形象思維恰恰可以打破這種障礙[1].例如，利用韋恩圖、數軸等來研究集合之間的關系問題，就可以具體形象的突破抽象思維的障礙.再如，在學習數學歸納法原理時，很多學生理解上會遇到困難，在教學中可利用多米諾骨牌來形象的幫助學生理解該原理.另外，在習題教學中注重數形結合和直觀想象，也能起到事半功倍的效果.

例4、（2018屆濰坊高三期末考試）在如圖所示的平面四邊形ABCD中， 為等腰直角三角形，且 ，則 長的最大值為 .

問題分析：常規思路是構造BD的函數，用函數的最值來解決，設 ，建立函數模型 ，從而得到答案;但如果引導學生抓住三角形ACD為等腰直角三角形，且AC=CD，就可以過點C作OC垂直于BC，并使OC=BC，得到 ，可得 ， 點在以 點為圓心，以1為半徑的圓上，該問題轉化為 點到圓 上點的最大距離問題了，當 點在 處時有最大值，可得 的最大值為 .這樣問題的解決就簡單多了.

六、注重語言轉換，突破因語言障礙引發的思維障礙

數學是思維的體操，語言是思維的載體，思維需要用語言或文字來表達，語言障礙會具體體現在數學問題的解決過程中，既與語言理解有關，也涉及到數學思維障礙[2].因此，在高中數學教學中，教師要注重引導、培養學生文字語言、符號語言、圖形語言以及不同表述間的轉換，形成數學概念和定理的整體認識和融會貫通，在靈活的語言轉換和問題解決中，鍛煉學生思維的敏捷性.例如，在學習函數單調性的概念時，在教學中可利用多媒體展示學生熟悉的一次函數、二次函數、反比例函數等圖像，圖象呈現上升或下降趨勢（圖形語言），對應轉換到y隨x的增大而增大或減小（文字語言），理解起來并不困難，關鍵是如何用符號化的數學語言來準確地表述函數的單調性呢？可組織學生充分合作探究，數學中的增大或減小，如何體現？（通過兩者大小比較），在某一區間上全部滿足又該如何表述？（突出取點的任意性），進而由學生嘗試用數學語言來表述函數單調性概念，老師點評完善.再如，在立體幾何的定理學習時，要注重文字語言、數學語言（符號語言）、圖形語言三種語言的呈現，可通過師生、生生之間相互提問、“翻譯”的方式加以強化.另外，也要重視實質相同的不同數學語言表述之間的轉換，例如，方程的根、函數的零點、函數圖像與x軸的交點之間的表述轉換，正余弦函數的極值點與對稱軸的表述轉換，點、向量與復數之間的表述轉換等.

總之，數學思維障礙的成因有很多方面，也很復雜，還需要在教學實踐中，不斷思考、研究，結合相應的教學內容和教育對象，轉變教學方式，改進學生的學習方式，以問題的解決為途徑，突破數學思維障礙，提高學生解決問題的能力，發展學生的思維能力.

參考文獻：

[1]王憲昌.數學思維方法.北京：人民教育出版社，2010.

[2]童嘉森.中學生數學閱讀能力的培養.北京：國家行政學院出版社，2013.

作者簡介：

韓秀波，男，44歲，高級教師，全國優秀教師，全國優秀班主任，首屆山東省十大教育科研名師，萊蕪市有突出貢獻的中青年專家，山東師范大學教育碩士合作導師。