順勢拓展 追問導學
——基于一節《函數零點問題的數形結合分析》課例的分析

福建省龍巖第一中學 (364000) 莊炯林

眾所周知，一個成功的教育者，絕非照本宣科、生搬硬套地填鴨式教學就能夠成就的.傳授知識不是在建圖書館，否則建一所學校只要建圖書館和配備相應的管理員就行了，教師豈不是無足輕重可有可無？恰恰，教師在教學中要充當思想領袖、是智慧的集大成者，教師傳授給學生的學習方法、思考方式比傳授知識本身更重要.題目千變萬化，做不完，但是題型卻有固定的路數.在教師平時的教學過程中，不能一味地追求題海題量，而應該要能在一道道經典的題目當中擅長挖掘、拓展、延伸、逆向分析，那么，這一道題目便是千千萬萬的題目的化身，達到真正以學生為本、教師是主導，學生是主體的高效課堂目標.下面就以“追問導學”方式對生成知識與方法做一次課堂教學探討.

一、教學內容分析

初學者(高一學生)大多不清楚為什么要研究函數的零點，因為在此之前他們都能用公式法直接求方程的根．其實，函數的零點問題是中學數學的一個重要概念,從函數值與自變量對應的角度看,就是使函數值為0的實數x.從方程的角度看,即為相應方程的實數根；從函數的圖像角度看,函數的零點就是函數與x軸交點的橫坐標.對于高中所接觸的函數相對較為復雜，除了研究函數的零點個數，還涉及到含參數的零點問題、復合函數的零點問題等等，教學時可通過舉例讓學生知道，有許多方程都不能用公式法求解，只能把方程交給函數，轉化為考察相應函數的零點問題，從動態的角度來研究，以靜制動，借助形的角度來研究數的問題．所以函數的零點從不同的角度,將函數與方程，數與形有機的聯系在一起，體現的是函數知識的應用.

二、教學實錄片段

1.提出問題，揭示方法

引例已知函數f(x)=

圖1

分析：首先可用函數與方程思想，將“函數y=f(x)-a存在三個零點”轉化為“方程f(x)-a=0存在三個解”即“函數y=f(x)與函數y=a有三個交點”，最后用數形結合思想分析.如圖1所示，當a∈(-1,0]時，函數y=f(x)與函數y=a有三個交點.

設計意圖：讓學生初步掌握數形結合思想在零點問題的應用.從討論方程的解(或函數的零點)的個數問題揭示方法，將問題轉化為討論兩曲線的交點個數,其基本步驟是先把方程兩邊的代數式看作是兩個熟悉函數的表達式(不熟悉時,需要作適當變形轉化為兩個熟悉的函數),然后在同一坐標系中作出兩個函數的圖像,圖像的交點個數即為方程解(或函數零點)的個數.

2.順勢拓展，追問深化

追問1：已知函數f(x)=

圖2

生1：根據剛才引例的分析，如圖2所示，當a∈(-1,0]時，函數y=f(x)與函數y=a有三個交點，且在直線y=a平移中x2,x3始終關于x=3對稱，即x2+x3=6，又x1∈[0,1)，所以x1+x2+x3=x1+6∈[6,7).

師：對，生1能利用剛才現有的成果進一步分析，使得問題得以解決.那同學們再看.

圖3

師：不錯！生2不僅能利用函數的奇偶性將函數圖像補全，而且利用奇偶性求解函數解析式，從動態圖形的觀察，以靜制動的方式實現問題的解答.接下來，同學們再看.

取M>max{2,2p,1+p}, 可知 由引理1.3、馬爾可夫不等式、 p≥1、E|X|1+p<∞、條件(A1)和式(2.4)得

A．5B．6C．7D．8

圖4

生3：“函數y=[f(x)]2+f(x)的零點個數”等價于“方程[f(x)]2+f(x)=0根的個數”，令t=f(x)則t2+t=0，得t=0或t=-1，此時f(x)=0及f(x)=-1的解為方程[f(x)]2+f(x)=0根的個數，即函數y=[f(x)]2+f(x)的零點個數.如圖4所示，函數y=f(x)與y=0有5個交點，函數y=f(x)與y=-1有3個交點，共8個，故選D.

師：對！追問3帶來復合函數的零點問題，生3巧妙的利用換元法，轉化為內函數與外函數的零點問題，贊！如果是接下來這題呢？

生4：以生3的解題提示，令t=f(x)，則t2+at+2a=0，如圖5-1所示，函數y=f(x)與y=t在t∈(-1,1)內有5個交點，也是最多交點，要使得方程[f(x)]2+af(x)+2a=0有10個不相等的根，方程t2+at+2a=0在t∈(-1,1)內須有不同的兩解，即函數g(x)=t2+at+2a在(-1,1)有兩個不同的零點，如圖5-2所示，有

圖5-1 圖5-2

A.方程f(f(x))=0有且僅有3個根

B.方程g(g(x))=0有且僅有4個根

C.方程g(f(x))=0有且僅有5個根

D.方程f(g(x))=0有且僅有6個根

圖6-1 圖6-2

生5：如圖6-1所示，A選項中，滿足方程f[f(x)]=0的f(x)有3個不同的值，f(x)等于-2，0，2，而當f(x)=0時對應3個不同的x值；當f(x)=±2時，沒有對應的x值．故滿足方程f[f(x)]=0的x值共有3個，即方程f[f(x)]=0有且僅有3個根，故A正確．

如圖6-1、6-2所示，D選項中，滿足方程f[g(x)]=0的g(x)有三個不同值，g(x)等于-2，0，2，如圖可知，由于每個g(x)值對應了2個x值，故滿足f[g(x)]=0的x值有6個，即方程f[g(x)]=0有且僅有6個根，故D正確．故選C.

師：非常好！生5能融會貫通，分別從兩個函數圖像中的零點個數出發，將多組合的復合函數一一分析清楚，利用數形結合思想解決問題，達到“不畫圖，沒前途，畫了圖，不糊涂”的境界.

設計意圖：讓學生學會“學中思考，融會貫通”，提升素養.設計一個入口較寬的問題，順勢拓展問題，步步追問的形式，讓每一個追問都有一定挑戰性，讓學生從一題多變中體會知識的連續性，讓學生合理利用現學的理論知識求解，逐步拓寬解題思維，不僅培養學生數形結合的意識，也達到知識認知的廣度和寬度.使學生能將陌生的問題轉化為常規問題，把數的問題轉化為形的問題，當依靠形說不清時再次把形的問題轉化為數，感受數學解題其實就是一個不斷轉化的過程．

3.點撥指導，歸納總結

問題：以引例為出發點，順勢拓展步步追問，你有哪些收獲？

設計意圖：在學生談收獲，談體驗的過程中，教師將本節課的內容回顧總結，概括升華，進一步優化學生的認知結構，把課堂所學的知識與方法較快轉化為學生的核心素養，也更進一步培養學生的歸納概括能力．主要是讓學生歸納總結以下兩點：①函數零點問題轉換的方法與技巧；②數形結合思想應用的方針與策略.

三、教與學的思考

在課堂教學中讓學生在親身體驗中認識數學思想方法，解決問題，理解和掌握基本的數學知識、技能和方法.多關注學生課堂學習的過程.以問題串組織教學，一步步引導學生自主建構思路，5個追問把整節課知識點串了起來，這樣的課堂是高效的，學生在思考中發現，在探究中感悟．立足放手讓學生來說，把舞臺交給學生，充分體現教師為主導，學生為主體的教學理念．學生的大膽嘗試，縝密的思維，條理清晰的思路正是我們老師希望看到的，這樣的學生也是我們老師希望培養的．