構建變量關系 理解“函數”特征

☉山東省臨沂沂堂中學 趙曉光

開學之初學校安排各年級各學科都要做一次學科打磨課的教研活動.作為一名數學青年教師代表自然責無旁貸地領旨掛帥，作了一節關于《一次函數》的教研課.課后我多次觀看當時的課堂場景，與聽課教師進行交流，希望自己能夠快速成長起來，成為課堂教學的佼佼者.我深知數學課堂活動，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程.需要以學情出發，創設一個激發學生自主學習的質疑情境，在喚醒欲望的過程中存疑、解疑、釋疑.本次教研課我推陳出新，一改以往給學生大量的探究題，并要求學生快速釋疑的低效做法，而選擇新方式來講課.為此，我將創設的探究用PPT形式一一展示出來，并采用自主思考和小組交流等多種活動來存疑、解疑、釋疑.在學生的探究活動中做好引導和疏通，答疑和點撥.

一、課堂案例實錄

用電子白板展示：

探究1：去超市買桶裝方便面，單價為4元/桶，所要購買的數量為t桶，所用總費用為f元.

（1）填寫相關表格.

t/桶 1 2 3 … n f/元 …

（2）試用含t的式子表示f.

師：哪位同學愿意在電子白板上填寫這個表格？

（生甲舉手，被允許后上臺填寫表格中的數據）

師：你怎么算出來的？

生甲：總費用=價格×桶數.

師：如何用含t的代數式表示f呢？

生甲：f=4t（學生板書出來）.

師：（示意學生回到自己座位上）請同學觀察上面等式哪些量在變，哪些量沒有變？

生：總費用f、數量t在變，單價沒變.

師：總費用隨數量的變化而變化.

用電子白板展示：

探究2：學生食堂每份飯的售價12元，如果早餐售出1800份，午餐售出2700份，晚餐售出3090份，三餐食堂收入各多少元？若設一餐售出x份，食堂收入為y元，怎樣用含x的式子表示y？

學生開始思考、演算.演算結束.

師：請乙同學來通過投影展示演算結果.

生乙：早餐食堂收入為12×1800=21600元；

午餐食堂收入為12×2700=32400元；

晚餐食堂收入為12×3090=37080元.

式子表示：y=12x.

師：請同學觀察上面等式中哪些量在變，哪些量沒有變？

生：x、y在變，食堂每份飯的售價12元沒變.

師：食堂收入隨售出飯的份數的變化而變化.

用電子白板展示：

探究3：從物理實驗室找來一根50mm的彈簧，再找來一把刻度尺，作一個物理實驗（裝置如下圖），在彈簧的下端掛相同質量的鉤碼，逐漸增加鉤碼數量，觀察彈簧長度，記錄隨鉤碼數量的變化：

鉤碼數量x/個 0 1 2 3 4彈簧長度L/mm 50

怎樣用含鉤碼數量x（個）的式子表示受力后的彈簧長度L（mm）？

布置任務，讓學習小組A三名學生上臺演示實驗.小組分工：生丙掛鉤碼、生丁讀刻度尺讀數、生戊記錄填表.

師：戊同學請你來說說填表的情況.

生戊：回答填表情況：

鉤碼數量x/個 0 1 2 3 4彈簧長度L/mm 50 58 66 74 82

師：請小組根據相關數據分析，用含鉤碼數量x（個）的式子表示受力后的彈簧長度L（mm），怎么考慮的？

生丙：每增加一個鉤碼使彈簧伸長8mm，掛了x個鉤碼，受力后的彈簧長度便伸長8x，彈簧長原長為50mm，所以受力后的彈簧長度L=50+8x.（班級學生鼓掌）

師：回答很好，大家都能分清楚式子中的什么量在變化了吧？

學生：式子中的x、L在變.

用電子白板展示：

探究4：用80cm長的繩子圍成長方形，通過改變長方形的長和寬，計算所得到的長方形的面積怎樣變化？完成下列數表：

長/cm 35 30 25 20 15 10寬/cm面積/cm2

若長方形的邊長為ycm，面積為Scm2，則用含y的式子表示S為_______________.

教學活動過程略去.

在教師的指導下學生根據以上創設的4個探究對其作出的關系式進行歸納：

（1）什么是變量，其主要特征與含義是什么？

（2）常量的特征與含義又是什么？

……

二、課后交流與反思

再次觀看自己授課的錄像，在備課組教師的交流切磋中深深感悟到了這樣的幾點不足：

1.在創設探究環境時，很多是自己的一廂情愿，沒有抓住學生的實際情況，例如，探究1和2都是以買與賣的材料為載體，雷同的材料不足以拓寬學生視野，備課組成員認為應該更換材料.

2.課堂采用了問題驅動式的講課方式，形式上對探究學生釋疑不拖泥帶水，探究本身是否足夠深刻，能否喚醒學生的思維？這是課后交流時一些教師提出了的.還有教師提出：學生在課堂上探究、發現、總結規律的過程中，總是讓個別或者少數的學生來回答，有些像一言堂.盡管得出變量、常量概念是學生自己總結出來的，很多是學生看書而已，探究是否只成了部分好學生的戲臺？

3.還有教師認為：教師作為指導者，培養學生的數學思維能力不能僅僅依靠探究的情景，更多地要注入教師的心血.要讓學生學會思考、能夠思考，在探究2的問題突破時，給學生不到3分鐘的時間，很多學生的表格都沒有完成，數值計算也過于“龐大”，應該減小數值的運算量，探究的目的是讓學生明確變量和常量，大量的數值運算使得本末倒置.探究3是物理方面的問題，盡管是學生自己動手操作的，而且是合作探究的，但下面的學生只是觀望，還有學生糾結在彈簧長度是否可以任意伸長等方面，離開了創設情境的初衷.

4.也有教師認為，課堂用了大量的時間來鋪墊變量與常量，是否有些得不償失.為什么沒有對探究進行延伸，比如說加入函數的定義、用方程組的觀點解決探究4，等等.還有就是本節課只談了變量、常量的數值關系，沒有涉及單位問題，變量的取值范圍問題等.

和眾教師30多分鐘的交流雖然短暫，但其尖銳、一針見血地指出存在的問題是刻骨銘心的.借助他人的意見或建議，我重新調整了本節內容的解決方法：

1.將探究1留給學生課前作，讓導學案前置，起著預熱的作用.

2.將探究2換一種背景材料，替換成水池加水或者是高鐵行駛之類的背景材料，也讓學生在課前完成，課堂上開門見山地提出問題：“在探究1和探究2中，自己在解決問題的過程中，觀察到了什么嗎？請四位學生上臺寫出自己的見解.”這樣就可以直接得出：①每一個式子中都有兩個量可以變化，有不變的數值；②其中一個量改變，另一個量也會隨著改變；③當一個量給出一個數值時，另一個量的數值也是一定的，等等.

3.探究3是學生動手實驗的，但觀望的學生太多，將學生分組，彈簧改為橡皮筋來做實驗，讓學生全員動手，組與組之間競爭，掀起課堂探究的高潮.盡管各組得出的表格中的數值不同，其最終的表達式也不同，但規律是相同的.再通過小組展示小組實驗結果、得出的關系式，讓全班學生議一議、評一評強化記憶.

4.在本節課之末，嘗試讓學生仔細觀察生活中的現象編制一道題，從而深化對變量和常量的理解.

三、寫在最后

再次講授打磨后的課的時候顯得輕松自然，課堂氣氛高漲而和諧.變量與常量是函數的基礎，升華為生生不息的運動變化規律中體現出來的重要數學模型——自變量與函數.從變量與常量的角度思考更多的是數學中定量地描述數與形的對應關系.所以，本節課關鍵所在是構建概念，一個函數初步的概念.在課堂教學中是不能僅僅著眼于具體探究情境的釋疑過程，還要不斷將具體情境中的相關數學思想抽象化，從整體上認識“函數”的本質.函數是數學的基本思想，需要通過一定材料的載體來體現，學生對數學思想的認識是一個漫長的過程，既需要領悟教材的內容，也需要教師恰如其分的點撥，更需要學生在積極的探究過程中親身經歷和感悟.

總而言之，在教學中需要注重實踐，更需要同行們的幫助和交流，通過教研活動可以讓教師獲得新生、走向成熟.P