“相似變換”思想方法下的數學教學思考

☉江蘇省如皋市郭園初級中學 周冬梅

相似變化的思想方法是在具體物體“放大”或“縮小”中進行數學抽象得出的，與幾何變換并列的相似變換是解決有關問題的工具，相似變換中所蘊含的理性思維能夠更好地發展學生的能力與個性，使學生在豐富的現實情景中感受相似變換的必要性與數學學習的價值.教師在實際教學中應結合教學內容與學生特點貫徹和諧教學理念并因此促成學生學習效益的攀升.教學實錄如下，供同行參考.

一、課前預習——自主探索

教師事先設計出“先行組織者”并引導學生進行充分的課前預習：

（2）如圖3，你能作出圖形F每邊放大到原來3倍后的圖形嗎？你怎樣畫的？放大后的圖形位置是唯一的嗎？

（3）你是否能在放大或縮小的前后兩個圖形中發現改變和沒有改變的都有哪些？你如何發現的？

圖1

圖2

圖3

（4）圖形經過放大或縮小變成新的圖形的過程是否是軸對稱變換？平移變換？旋轉變換？為什么？

點評：這是一個包含新知識“生長點”且具備定向指導作用的“先行組織者”，學生在提前思考中獲得了更多的思維碰撞并因此推動了課堂理性思維的節奏.

二、課堂討論——合作研討

1.匯報交流——矯正互學

匯報交流的引導性問題如下：

（1）對圖形放大或縮小的原因是什么？

（2）根據題意將圖3中的圖形放大3倍并作圖，大家是如何操作的？

（3）位置問題大家作何感想？

（4）圖形產生的變化和沒有改變的地方有哪些？

（5）位置是否唯一？

（6）屬于什么變換類型？

點評：在學生進行一定思考基礎之上引導學生進行匯報交流，能使學生在個性化的思維碰撞中實現“導富濟貧”.

2.引導探究——交流合作

師：由此看來，具備現實意義的圖形改變不僅僅是認識幾何的工具，它在數學的研究中也是非常重要的，那么大家是否能夠根據平移變換或旋轉變換的表述來描述上述圖形改變的本質特征呢？如果給它一個名稱，大家覺得什么名稱合適呢？

（學生陳述，教師及時進行補充）

師：相似變換運用圖形描述也是可行的，大家覺得應該怎樣根據原圖形來確定改變之后的新圖形呢？如圖4，如果將△ABC的三邊都縮小至原來的，如何畫出新圖形呢？大家想的辦法越多越好.

圖4

生1：△ABC處于4×6的方格組成的矩形內，可以先將這個矩形縮小，取出一個2×3的小矩形出來再對應描點連線就可以畫出新圖形了.

生2：取AB中點M，AC中點N，BC中點P，則△AMN、△MBP、△PCN、△MNP都符合要求.

生3：新圖形還能畫在其他地方.

師：大家在畫圖中可有什么感觸或想法？生4：變換后的圖形位置可以在任何地方.

生5：不看小方格，借助其他工具一樣可以作圖.

師：很好，相似變換和其他變換相比最大的區別就是圖形位置沒有限制.大家來想一想這樣一個挑戰性問題：圖形相似變換最根本的特征就是保持圖形的形狀在變換前后不作改變，那么是否可以運用數量關系來刻畫形狀不變這一性質特征呢？大家可以從對應的角、線段等方面進一步觀察并思考一下可有不變關系存在？

生6：對應角沒有變化，不過線段變化了.

生7：放大或縮小了相同的倍數但它們之間的比值沒有變化.

生8：周長之比和對應線段之比是相等的.

生9：面積之比應該也有一定關系.

生10：根據圖4可觀察出面積比應該是對應線段之比的平方.

師：同學們太棒了，看來大家對于圖形的相似變換已經建立了很好的認知與理解.

點評：基于能力發展點、個性與創新精神培養點的有效探索與發現使學生的思維順利上升到了理性思維的高級層面.

三、構建理論——綜合概括

師生共同歸納整理：

（1）概念：將一個圖形改變成另一個圖形并保持其形狀不變的圖形變換叫做圖形的相似變換.變換前后的圖形叫做相似圖形.

（2）確定相似變換后的新圖像的方法：①借助方格紙；②借助作圖工具.

（3）相似變換的性質：①圖形中每個角的大小不會改變；②每條線段都會擴大或縮小相同的倍數.

點評：引導學生在充分活動與思考的基礎上對所學內容進行總結，使學生在建構性學習與理解中對所學內容形成深入的理解.

四、嘗試運用——檢測評價

問題：

（1）觀察圖5中的圖形并將其各邊長擴大到原圖形的3倍，在同一方格紙上畫出與原圖像位置不同的經變換所得的像.

（教師在學生的獨立操作中進行巡視，并在大約2分鐘后引導學生進行相互交流與評價）

圖5

圖6

圖7

（2）觀察圖6中的Rt△ABC并將其每條邊長擴大至原圖形的2倍，放大后所得的圖形與原圖形面積之比是多少呢？周長之比又怎樣？

（教師在學生的獨立操作中進行巡視，并在大約2分鐘后引導學生進行相互交流與評價）

（3）圖7為浙江省航線圖，大家想一想此圖應該是該省在哪一變換中得到的像呢？請觀察一下圖中的比例尺，根據這一比例尺大家是否能夠看出實際版圖縮小的倍數呢？請大家根據這個圖來計算一下杭州到寧波、溫州兩地的實際距離.

（教師在學生的獨立思考與計算時進行巡視，大約2分鐘后引導學生進行相互交流和評價）

（4）一位旅行者試圖從沙漠中的A營地經過B地到達C地，他背著羅盤與計算器首先向北偏東37°方向行走了3km，到達了B地，然后他繼續上路并向正西方向行走了5km并最終到達了C地.

①如果比例尺是1∶100000，你能畫出該旅行者從A地出發途徑B地并最終到達C地的旅行路線圖嗎？

②你認為你自己所畫的路線圖和實際路線圖之間屬于什么圖形變換呢？縮小了多少倍呢？

③該旅行者返回營地時走了最短的路線，你能畫出他返回營地的路線嗎？請大家計算出該旅行者返回營地的具體方向與路程.

（教師在學生按要求思考、操作、計算的過程中進行巡視，并在大約3分鐘之后引導學生進行相互交流與評價）

點評：在學生理解相似變換這一思想方法之后將其運用于實際問題的解決中，使學生在具備現實意義的土壤或背景中運用這一思想進行具體問題的解決，這對于學生的建構性理解與作圖技巧的提高來說都是極為重要的，看似耗費很多時間的變式訓練有效加強了學生對相似變換的認識.

五、反思總結——回顧思考

師：請看下列問題清單并作出回答：

（1）什么是相似變換？相似變換的學習可有什么意義？

（2）有哪些方法可以作出相似變換后的像呢？

（3）相似變換的性質一共有哪些？變換前后形狀不變是什么原因？

（4）請聯系軸對稱變換、平移變換、旋轉變換并分析它們之間的區別和聯系.

（5）學習過程中涉及到了哪些思維與思想方法呢？你可有什么想法？

點評：以“問題清單”的形式進行課堂小結，有效驅動了學生對所學內容的回顧和思考，同時價值引導和自主構建相結合的理念也在問題設計與總結歸納中盡情展現出來.

六、課后延伸——自主研究

（1）基礎題：教材中的作業題.

（2）提高題：總結軸對稱變換、平移變換、旋轉變換、相似變換這4種變換之間的區別和聯系.

總之，本節課的授課設計和過程都體現出了以數學知識發生發展過程為載體的學生認知過程和以學生為主體的數學活動過程，對教學內容與教學價值理解和定位的準確也使數學教育的兩重性特征盡情展現，學生在價值引導與自主建構相結合的教育教學中也對所學內容形成了更加深入的理解.H