基于“一題多解”，有效落實數學關鍵能力
——以“雞兔同籠”問題為例

江蘇連云港市蒼梧小學（222006）

近年來，數學核心素養成為國內外數學教育改革的一條主線，引領與推動著數學教育的改革：美國、新加坡、德國、日本等國家的課程文件中均提出了數學核心素養（或能力）的要求；國內史寧中、宋乃慶、喻平、徐斌艷、馬云鵬、李星云、曹培英等一批學者闡釋了數學核心素養的內涵、構成及培養等。當下，數學核心素養中關鍵能力的落實是中小學數學教學實踐中的一個重點與難點問題。下面以“雞兔同籠”為例，從“一題多解”的微觀角度探析小學數學關鍵能力的落實。

一、小學數學關鍵能力的構成

考慮到小學數學的現實性、經驗性與活動性等特點，以及小學生的學習心理特征，小學數學關鍵能力應包括從數學角度提出問題、數學表征與變換、數學推理與論證、數學地解決問題、數學交流五個方面。

從數學角度提出問題：基于某情境、問題或在問題解決過程會產生自己新的數學問題，并用數學語言表述這些生成的、創造的、獨立的新數學問題。

數學表征與變換：用某種形式（如符號、圖形(表)、情景、操作性模型、文字等）表達要學習的或處理的數學概念或關系，以便最終解決問題。為了能夠簡化或成功解決問題，會使用改變信息形態的某種數學轉化策略。

數學推理與論證：通過對數學對象(數學概念、關系、性質、規則、命題等)進行邏輯性思考(觀察、實驗、歸納、類比、演繹)，從而得出推論，再進一步尋求證據、給出證明或舉出反例，說明所推論的合理性的綜合能力。

數學地解決問題：采用各種恰當的數學知識、方法與策略，解決在數學或其他情境中出現的問題，能檢驗與反思數學問題解決的過程。

數學交流：能以閱讀、傾聽等方式識別、理解、領會數學思想和數學事實，并能以寫作、講解等方式解釋自己的解決方法、過程和結果，針對他人的數學思想和數學事實做出分析和評價。

二、列表—枚舉法的分析運算過程所蘊含的數學關鍵能力

“雞兔同籠”問題是我國古代的著名數學趣題。早在1500年前，《孫子算經》中就記載了“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”此題不僅有趣，有歷史文化背景，還有從算術到代數的多種解法，是中小學數學中“一題多解”的經典樣題。一般來說，“雞兔同籠”主要有列表—枚舉法、算術—假設法、代數—方程法三類常見解法。根據小學生的數學學習水平，教師在教學中常將數量簡化，具體以蘇教版教材（2014年版）六年級下冊第三單元“解決問題的策略”中的練一練“雞和兔一共有8只，它們的腿有22條。雞和兔各有多少只？”為例。

“雞兔同籠”問題的列表—枚舉法解題過程一般如下：按雞的只數從少到多逐一枚舉（如表1所示）。

表1 列表—枚舉法

由表可知，有雞5只，有兔3只。

解答此題還可以按兔的只數進行列表、枚舉等。

對學生來說，列表—枚舉法在分析、運算、表征的過程中蘊含了上述五種數學關鍵能力的成分，具體如表2所示。

表2 列表—枚舉法的解題過程所蘊含的數學關鍵能力

列表—枚舉法的解題過程顯得有些繁，其實不然，雖然表面看來僅是簡單的列舉、計算，但對學生來說，后繼的數學學習中常常會用到此法，且由表2也可看出其中蘊含了多種數學關鍵能力的培養。

三、算術—假設法的假設推理過程所蘊含的數學關鍵能力

“雞兔同籠”的算術—假設法蘊含了典型的數學假設推理過程，其常見解法：假設都是雞，8×2=16（條）腿，還多出來22-16=6（條）腿，這6條腿是兔的，每只兔比雞多兩條腿，6×2=3（只），所以兔有3只，雞有5只。

解答時還可以假設都是兔，假設雞與兔只數一樣，假設雞與兔都“站”起來，等等。對學生來說，用算術—假設法解題不僅簡潔有趣，還能經歷數學的假設、運算、推理的過程，其蘊含的數學關鍵能力成分主要如表3所示。

表3 算術—假設法的解題過程所蘊含的數學關鍵能力

由算術—假設法的假設推理過程，以及表3中對其所蘊含的數學關鍵能力的分析可知，算術—假設法構思巧妙，具有典型的數學關鍵能力的成分，且與列表—枚舉法相比，體現了不同的數學關鍵能力培養價值。

四、代數—方程法的數學抽象過程所蘊含的數學關鍵能力

“雞兔同籠”的代數—方程法蘊含著典型的數學抽象過程，其一般解法：設有雞x只，那么有兔（8-x）只，根據雞兔共有22條腿，列方程得2x+4（8-x）=22，解方程得x=5，兔有8-5=3（只）。

解答此題還可以設兔為x只，利用二元一次方程組來解。對學生來說，利用代數—方程法解題是通過設未知數得到抽象的代數方程，這是解決此類問題的一種通法，其蘊含的數學關鍵能力成分主要如表4所示。

表4 代數—方程法的解題過程所蘊含的數學關鍵能力

從內容的角度來說，代數—方程法用代數的方法解決了“雞兔同籠”的問題，在數學關鍵能力的成分與培養價值上具有典型性和獨特性。

五、“雞兔同籠”的解法反思過程所蘊含的數學關鍵能力

解題后的反思是數學學習的一項重要內容，其反思過程蘊含著諸多數學關鍵能力的成分。如教師引導學生綜合反思“雞兔同籠”的列表—枚舉法、算術—假設法、代數—方程法的解法特征：列表—枚舉法具有嘗試、有序、常規等特征；算術—假設法具有精巧、有趣、簡潔等特征；代數—方程法具有簡潔、普遍、機械等特征。反思的這一過程也蘊含著一些數學關鍵能力的成分，具體如表5所示。

表5 解法反思所蘊含的數學關鍵能力

如此對“雞兔同籠”問題的解法進行反思的過程，能讓學生以旁觀者的身份提升解題能力，同時也創設了學生數學關鍵能力培養的機會與內容載體，體現了面向數學核心素養的教學。

培養學生的數學關鍵能力是數學教學的根本任務之一，也是數學教學的一個目標指向。解題作為數學教學的一項重要內容，需要教師重新進行理性思考、構建與設計，從而促進學生數學關鍵能力的培養。