搭建“腳手架”，指明思考路
——以一道求組合圖形面積的題目為例

江蘇邳州市運(yùn)平路小學(xué)（221300）

【問題提出】

對于六年級期末試卷上的一道題，學(xué)生都感覺無從下手，認(rèn)為題目給予的數(shù)學(xué)信息太少，甚至開始懷疑是不是這道題目出錯(cuò)了。

題目：圖1是由邊長分別是5cm、4cm的兩個(gè)正方形所組成，求陰影部分的面積。

圖1

【本質(zhì)探求】

這是一道求組合圖形面積的題目，首先要求學(xué)生掌握計(jì)算長方形、正方形、三角形、平行四邊形和梯形等圖形面積的方法，并能合理運(yùn)用組合圖形面積的計(jì)算方法：分割法，根據(jù)圖形的特征和已知條件把一個(gè)組合圖形分割成幾個(gè)簡單的規(guī)則圖形，然后分別計(jì)算出每個(gè)規(guī)則圖形的面積，最后把這些面積的數(shù)據(jù)相加在一起；割補(bǔ)法，把這個(gè)組合圖形的某些部分分割下來補(bǔ)充到另一部分上，讓它變成一個(gè)能夠計(jì)算面積的幾何圖形，然后再進(jìn)行計(jì)算；挖空法，把這個(gè)組合圖形先看成一個(gè)完整的規(guī)則圖形，計(jì)算這個(gè)規(guī)則圖形的面積后，再減去周圍空缺部分的面積；折疊法，把這個(gè)組合圖形折成幾個(gè)完全相同的圖形，先計(jì)算出一個(gè)圖形的面積，有幾個(gè)這樣的圖形就乘幾。

總之，求組合圖形面積的問題就是引導(dǎo)學(xué)生想辦法將無法用公式直接計(jì)算的圖形面積轉(zhuǎn)變成可以計(jì)算面積的圖形，從中滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法和培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

【教學(xué)建議】

對于五六年級的學(xué)生來說，這道題目給予的信息較少，要求將這個(gè)陰影部分的圖形轉(zhuǎn)變成與兩個(gè)正方形有關(guān)的圖形，是學(xué)生解決這道題目最為棘手的地方。因此，教師在教學(xué)時(shí)不妨為學(xué)生搭建“腳手架”，讓他們順著“腳手架”去思考，這樣既省時(shí)又為他們指明了思考的方向。

1.回憶常見平面圖形的面積計(jì)算公式

生1：長方形面積等于長乘寬，正方形面積等于邊長乘邊長，平行四邊形面積等于底乘高，三角形面積等于底乘高除以2，梯形面積等于上底加下底的和乘高除以2。

師：還記得我們已經(jīng)學(xué)過的平面圖形的面積計(jì)算公式嗎？

2.研究組合圖形的面積計(jì)算方法

師：我們用過哪些方法來計(jì)算組合圖形的面積？生2：把不規(guī)則的圖形分割成認(rèn)識的平面圖形，然后再把這些平面圖形的面積加起來。

生3：我會想辦法把不規(guī)則圖形拼補(bǔ)成規(guī)則的圖形來計(jì)算。

生4：我會把不規(guī)則圖形先補(bǔ)成規(guī)則圖形，用大面積減去小面積來計(jì)算。

師：大家總結(jié)得真好。我們來看一道題目：圖1是由邊長分別是5cm、4cm的兩個(gè)正方形組成，求陰影部分的面積。請大家先獨(dú)立思考，看看可以怎樣轉(zhuǎn)化。

學(xué)生匯報(bào)交流解題方法：

方法一：用大面積減去小面積的方法。先計(jì)算出兩個(gè)正方形的面積之和5×5+4×4=41（平方厘米），再分別計(jì)算出不是陰影的三個(gè)小三角形的面積分別是（4+5）×5÷2=22.5（平方厘米）、（5-4）×5÷2=2.5（平方厘米）、4×4÷2=8（平方厘米），那么陰影部分的面積就是41-22.5-2.5-8=8（平方厘米）。

方法二：通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)了陰影部分的面積等于小正方形面積的一半。如圖2，因?yàn)樘菪蜝CDG的面積=梯形BCDH的面積+三角形BGH的面積=（4+5）×5÷2=22.5（平方厘米），三角形BCE的面積=梯形BCDH的面積+三角形DEH的面積=5×（4+5）÷2=22.5（平方厘米），所以三角形BGH的面積=三角形DEH的面積。陰影部分BEG的面積=三角形BGH的面積+三角形EGH的面積=三角形DEH的面積+三角形EGH的面積=三角形GDE的面積=4×4÷2=8（平方厘米）。因此這個(gè)陰影部分的面積是8平方厘米。

方法三：如圖2，把這個(gè)陰影部分轉(zhuǎn)變成另一個(gè)方便計(jì)算的三角形GDE。因?yàn)槿切蜝GD的面積=4×5÷2=10（平方厘米）=三角形BGH的面積+三角形BHD的面積，又因?yàn)槿切蜝DE的面積=4×5÷2=10（平方厘米）=三角形HDE的面積+三角形BHD的面積，所以三角形HDE的面積=三角形BGH的面積。要計(jì)算的陰影部分面積是三角形BGH的面積+三角形EGH的面積=三角形HDE的面積+三角形EGH的面積=三角形GDE的面積。因?yàn)檎叫蔚倪呴L是4厘米，所以三角形GDE的面積是4×4÷2=8（平方厘米）。

圖2

3.舉一反三，利用組合圖形面積求邊長

為了促進(jìn)學(xué)生能夠熟練掌握組合圖形面積的計(jì)算方法，我又提供了一道相似的題目，引導(dǎo)學(xué)生找出正確的解題思路。題目：如圖3，每個(gè)小方格的長度為1厘米，兩個(gè)正方形的邊長分別是5厘米和3厘米，求線段DH的長度。

首先讓學(xué)生在練習(xí)本上獨(dú)立解答，接著再進(jìn)行全班的交流和反饋。

為了交流的方便，很多學(xué)生給每個(gè)交點(diǎn)都標(biāo)上了字母。

學(xué)生一：用設(shè)未知數(shù)解方程的方法來解決。設(shè)線段DH的長度為x厘米，因?yàn)槿切蜛DG的面積=三角形ADH的面積+三角形HDG的面積=5x÷2+3x÷2=4x，又因?yàn)槿切蜛DG的面積=3×5÷2=7.5（平方厘米），所以4x=7.5，計(jì)算出x=1.875，所以線段DH的長度是1.875厘米。

學(xué)生二：利用等底同高的兩個(gè)三角形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化來計(jì)算線段DH的長度。因?yàn)槿切蜛DG的面積是3×5÷2=7.5（平方厘米），又因?yàn)槿切蜨CG與三角形ADG是等底同高的三角形，所以它們的面積相等，因此線段HD=7.5×2÷（3+5）==1.875（厘米）。

圖3

【教學(xué)反思】

在教學(xué)的過程中，教師沒有過多的言語，都是讓學(xué)生獨(dú)立思考與相互交流，學(xué)生在思維的碰撞中找到問題的“腳手架”和突破口，這樣的學(xué)習(xí)過程體現(xiàn)了以學(xué)生為主的新課程理念，真正讓課堂成為學(xué)生學(xué)習(xí)和思考的主陣地。教師不但發(fā)揮著組織者、引領(lǐng)者和設(shè)計(jì)者的職責(zé)，并且在學(xué)生困惑之處及時(shí)給予適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥和啟迪，讓學(xué)生能夠朝著正確的方向不斷深入思考，尋找到更多的方法。同時(shí)，在這個(gè)過程中，教師滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯能力和數(shù)學(xué)思考能力。

當(dāng)然，當(dāng)學(xué)生具備了一定的解題經(jīng)驗(yàn)后，教師又趁熱打鐵為學(xué)生提供了一個(gè)借助組合圖形來計(jì)算線段長度的題目，不僅為了培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，更是要求學(xué)生對于同一道題目能夠進(jìn)行“一題多解”，拓寬數(shù)學(xué)思維。

總之，教師在課堂上要放手讓學(xué)生去探究和思考問題，在學(xué)生有困難的地方為他們引領(lǐng)指路，幫助他們及時(shí)釋疑，只有這樣才能在課堂上促使學(xué)生獲得扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和基本技能的同時(shí)，又能獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)思想方法。