遵循認知心理規律 重視數學概念教學

杜紅俊

【內容摘要】數學概念是數學的邏輯起點，是學生認知的基礎，是學生進行數學思維的核心。因此，數學概念教學是數學教學的重點。本文從認知心理學角度，探討了數學概念教學的策略和方法。

【關鍵詞】數學 概念 認知 心理 教學

數學概念是數學知識系統的重要組成成分，也是學習數學的認知基礎。數學概念之間存在著各種邏輯聯系，由這些聯系最終構成概念網絡，形成概念體系。在數學學習過程中，學生如果沒有真正理解數學概念，那么解決數學問題就會常常出錯，同時也不利于相關概念的學習和整個數學概念體系的建立。在數學教學中，概念教學不但重要，而且難度較大。本文從認知心理學角度，探討了數學概念教學的策略和途徑。

一、重視概念的本質屬性，開掘概念教學深度

現代認知心理學理論認為，概念都是從具體的自然概念向抽象的科學概念不斷發展的過程中得以不斷完善的。美國著名認知心理學家奧蘇貝爾認為，概念既有動態過程性，又有靜態結構性，即概念的二重性。Thompson，Greeno，Hiebert等人在現代認知心理學、建構主義等理論指導下提出，許多數學概念可以看作是過程與對象的對立統一體。這是從數學角度出發對數學概念的本質認識。概念的二重性在數學中比比皆是，如分式既表示兩個式子做除法，又表示商；數列極限既代表序列變化趨勢的過程，又代表發展變化的結果；微分和積分既代表對函數的特定運算法則，又代表特定的變換本身等等。

因此，在數學概念教學中，我們既不但要引導學生經歷從具體的自然的概念逐漸向抽象的科學的概念的過渡，逐漸由感性認識上升成為理性認識，而且要重視概念的二重性，開掘概念教學的深度。有許多數學概念，如果我們僅僅重視對數學概念作靜態的對象結構分析，就會忽視概念動態的過程操作性。這時，我們往往只知道概念定義而不會靈活地運用定義以及背后隱含的數學思想解答問題。例如，已知橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）從橢圓的右焦點F（c，0）向橢圓的任一切線作垂線，垂足為P，求點P的軌跡。對于這道題，學生通常采用代數法解題，先設出橢圓的切線方程為y=kx+m，求出PF的直線方程解出交點P的坐標，通過消參求出軌跡方程。這種解法計算量比較大，容易在求解過程中出現錯誤。解這道題如果利用橢圓定義，作點F關于橢圓切線的對稱點，很容易得到點P到橢圓中心O的距離等于常數a，點P的軌跡就是以點O為圓心，a為半徑的一個圓。

二、運用概念結構理論，拓展概念教學寬度

現代學習心理學認為，學習是一種建構性的活動，是學生在已有的知識經驗基礎上，通過與新知識發生相互作用，最終形成新的認知結構過程。因此，數學概念的教學應關注學生的經驗世界，應在定義之前先尋找概念發生的基礎，找到對應的具體化材料、實例，再通過對象的數學化過程而獲得數學概念。根據概念形成的自然性，概念可以分為自然概念和人工概念。自然概念是指人類歷史發展過程中自然形成的概念。人工概念是在實驗室條件下，為模擬自然概念的形成過程而人為地制造出一些概念。從心理學角度上講，有關概念結構有下面幾種理論：

1.層次網絡模型

概念是以結點的形式存儲在概念網絡中。在概念網絡體系中，每個概念不但都具有自己的定義，而且概念間通過各種內在邏輯聯系，往往會形成一種類屬層級關系。在這個概念體系中，層次越高的概念，其建立的基礎越寬廣、厚實，其抽象概括的水平也越高。因此，在概念教學中，運用這一模型理論就要加強概念的銜接性及相互關系的教學，幫助學生厘清概念間的關系。簡單地說，數學概念不是孤立的。定義一個新概念要用到很多舊概念，即數學概念之間是相互聯系的。如對“極限、連續、導數”概念的教學，大部分教師傾向于讓學生學會操作性的計算，簡單性的應用即罷。學生能求簡單函數的極限、連續、導數即行。其實這種只強調計算而忽視概念的教學，不但會影響學生對概念的理解，還會妨礙大學微積分的學習。雖然函數概念是現代數學的中心問題，但正是極限的概念引入，標志著數學思維向著更高級的領域發展。極限思想是微積分學中處理問題的基本思想。微積分的基本概念都是在極限概念的基礎上命名的。教學中，由于數在某一點的極限概念實證研究較少。連續概念在教材中也是一帶而過，討論較多的核心概念是導數，因此許多老師常忽視這幾個概念的教學。其實可導一定是連續的，而且必須在連續的背景下討論。函數在點xo處的極限、連續、導數三者概念是互相聯系的，函數在點處xo存在極限是函數在點xo處連續的必要條件，函數在點xo處連續是函數在點xo處可導的必要條件，三者之間的關系如下圖所示。

又如，二次三項式a x2+bx+c出現在中學代數式一章，與一元二次方程a x2+bx+c=0及一元二次不等式a x2+bx+c>0（<0）兩個專題分為三個階段學習。教材的這種安排，使得教學中我們會將它們當作孤立的幾項內容分散進行教學，但當引入二次函數f（x）= a x2+bx+c，我們就可以把上述三方面內容統一在函數概念之下進行深度整合，從而使知識結構成網，便于學生整體掌握。

2.原型模型

從概念結構來講，原型理論認為，概念是由原型加上與原型特征有相似性的成員來組成的。所謂原型是指范疇中最能代表該范疇的典型成員，而且概念主要是以原型來表征的。例如，概念“鳥”的原型為“麻雀”，而“鴿子”“鴕鳥”等成員與“麻雀”都有一定的相似性特征，這樣以原型為核心，加上與之具有相似性的成員就組成了“鳥”的概念范疇。

其實，在人的記憶中有很多概念并不是以某些抽象的規則或一些相關特征來表示的，而是以這些概念的典型實例來表示的。例如講到一些幾何圖形時，可能在人的意識中首先反映的是一個直觀幾何圖形，而并非其形式定義；在講到函數時，我們可能首先想到的是某一函數解析式或函數圖像；有時在回憶某一概念時，往往先試著回憶具體事例或圖形，然后再聯想到其形式定義。由此可見，概念的典型性范例對學生獲得概念起著重要的作用。在概念教學中，教師不應先呈現概念的定義，而是應該在重視學生先前的經驗的基礎上，通過組織整理學生接觸到的恰當的實例，先建立起“智力對象”，再由學生這種思維活動（“其一是對他們先前的經驗作某種分類，其二是他們現有的經驗能歸結到某個種類中去”），去豐富主體的體驗，從心理上建構概念意義，最終獲得數學概念。

總之，數學概念的理解和建構是數學學習的主要目標之一。數學教學中，我們一定要重視概念教學，要在充分尊重學生的經驗世界和認知特點基礎上，引導學生挖掘概念的內涵，掌握概念的本質屬性，同時按照數學概念的層次結構，通過不斷深入的抽象概括，幫助學生形成比較完善的數學概念結構。實際教學中，作為教師，既要從思想上引導學生重視數學概念，同時，又要精心準備概念的教學，重視數學概念的形成過程，并通過篩選、編制關于概念的習題，及時糾正學生錯誤的概念表象，讓學生深刻理解概念的含義。作為學生，要重視數學基礎的學習，特別是對概念本質的理解，建立概念體系。比如在微積分學習時，當導數以等價變式的形式出現時，我們要注重極限式所表達的某一個概念，而不是注重計算技巧，關注分子、分母、函數表達式等方面，對導數概念的理解也不能僅僅停留在模仿階段，多思考函數在一點處的極限、連續、導數概念的三者關系，這樣，我們就能更深地理解導數實質上是特殊的極限，導數要在連續的基礎上討論，對極限“永遠達不到”的思想可能會改變。

【參考文獻】

[1] 王波.關于數學概念教學的幾點思考[J]寧夏教育科研，2008，（5）.

[2] 彭姌齡.普通心理學[M].北京師范大學出版社，2003.

[3] 梁英.基于認知心理學理論的數學概念教學分析[J] 廣東技術師范學院學報，2006（4）.

[4] 王波.關于數學概念教學的幾點思考[J].寧夏教育科研，2008，（5）.

[5] 彭姌齡.普通心理學[M]. 北京師范大學出版社，2003.

（作者單位：廣東省四會市四會中學）