立足函數知識，提升核心能力——以“指數函數”的教學為例

☉廣東省廣州市花都區圓玄中學 羅莉萍

指數函數是高中數學的重點知識，雖然它是高中階段較為初等的函數，但其知識內容和探究方法對于之后的函數學習有著借鑒作用，并且直接影響到學生后續知識的學習.因此，對于該部分知識的教學需要進行針對性的編排，力求使學生獲得知識和能力的雙重提升.

一、揭示函數內涵，關注函數表達式

理解指數函數的概念是學習指數函數相關知識的基礎.因此，在課堂教學中應注重對指數函數概念的講解，以揭示函數的內涵作為教學的重點內容，力求幫助學生深刻理解函數概念，而對于函數概念的揭示可以從表達式的表征以及底數取值兩方面來進行.

指數函數的概念是對生活問題的抽象，其本質是對生活問題中兩變量關系的反映，而表達式是對變量的賦值與關系構建.需要注意的是，雖然生活中有眾多的問題與指數函數相關，但其變量關系并不完全能用指數函數來表征，教學中需要向學生闡明.最為典型的例子是銀行本利與期數關系，雖然因變量（本利）隨自變量（期數）成倍增長，其變化規律可以用指數型函數y=kax來呈現，但是只有當k=1時，其形式上才可以被認定為指數函數，這也是數學上關于指數函數的定義.另外，對于指數函數的底，教材中將指數函數y=ax（a＞0，a≠1）中的字母a認定為底，學生很容易形成記憶的格式化，需要點出對于y=a2x（a＞0，a≠1）型函數，其底數為a2，讓學生不僅從形式上認識函數表達式，還能理解其深層含義.

學習指數函數的概念，不僅需要認識其表達式的形式，還需要進一步探究底數a的取值范圍，可以結合之前所學的關于指數冪的知識，將指數的范圍取值同樣擴展到實數集上，為后續定義域的學習奠定基礎.在實際教學中可以引導學生從a＜0、a=0和a=1三種情形來討論，讓學生充分理解上述取值的無意義性，從而深刻理解指數函數底的取值限制.

二、體驗探究過程，發展邏輯思維

指數函數是中學數學較為重要的內容，其重要性不僅體現在高考對其考查要求上，還體現在內容的探究性上，其探究性是后續相關函數學習的基礎，也是培養學生數學邏輯思維的關鍵.因此，對于指數函數教學需要創設多樣的環節，讓學生體驗知識的探究過程.

指數函數教學需要學生掌握函數探究的方式，教學中可以設計“情景解讀—概念抽象—圖像構建—性質探析—結論歸納”的探究環節，引導學生親身體驗知識從抽象到結論形成的探究過程.在情景解讀階段，需要教師基于指數函數創設具有現實意義的生活問題，可以引入故事，也可以引入名言，如《莊子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，讓學生寫出木棰的剩余量y關于取的次數x的函數關系，感受概念的初始形成.而在概念的抽象階段，除了要讓學生充分理解概念內容外，還需要設置相關問題，讓學生辨析概念，從內容形式、規定條件、適用范圍等多方面理解概念.而在概念定義學習之后，可以讓學生思考函數圖像的繪制方式，然后結合具體函數圖像來進一步思考函數的性質，如展示y=4x、y=3x的函數圖像，類比之前學習二次函數、反比例函數的方法來分析函數性質，學生很容易就可以考慮到應從函數定義域、值域、單調性等方面來學習，讓學生充分觀察、合理聯想，引導過程需要注意采用數形結合的方式.最后的結論歸納階段，讓學生思考如何驗證歸納的性質，如指數函數圖像必過定點（0，1），可以讓學生從反證、圖像分析的角度來思考，通過這樣的環節來培養學生的嚴謹思維，獲得知識探究的一般方法.

合理設計探究環節，讓學生充分體驗知識探究的過程，不僅可以讓學生深刻理解函數的重點知識，在這個過程中，由于學生需要思考的內容很多，如問題中抽象概念、繪制函數圖像、觀察圖像、歸納性質、結合數學方法驗證猜想等，這是一個嚴謹的思維過程，因此還可以充分發展學生的邏輯思維和數學的推理能力，使學生逐步掌握科學的研究方法.

三、強調基礎運算，學習數據分析

函數知識的學習離不開最為基礎的運算和對數值的分析，具體體現在對函數圖像分析和性質探究上.上述的探究過程需要結合數值計算來繪制函數圖像，并結合具體數據變化來分析函數的變化趨勢，因此可以說基礎運算對于研究函數的概念和性質起到了推動作用.

例如在對函數的性質探究時，可以結合具體函數來推導變化趨勢，要求學生根據指數函數來計算變量數值，并填寫下表：

表1 指數函數y=2x和y= （ ）x

表1 指數函數y=2x和y= （ ）x

x …-3-2-10123…y=2x … …y= 1 2（）x

依據表格的變量數值，引導學生分析函數的增減性，以及兩函數在數值上的對稱性.該過程中需要給予學生充足的時間，從函數簡單的運算入手，逐步依托研究函數的方法來進行數值的運算推理，從而發現其中潛含的規律，基礎運算與數值分析的充分結合是探究函數性質的關鍵方法，基于數值的推理能充分培養學生的數學運算和推理能力，這對于學生的長遠發展是十分有利的.教學階段同樣需要滲透一般化思想，尤其是對于性質的探究過程，需要指導學生根據幾個具體函數來繪制圖像，結合具體圖像來觀察共同特征，從而總結指數函數性質.探究過程可以設置具有引導性的問題，如：觀察函數的圖像，從變化趨勢、定義域和值域范圍、所過定點來總結這類函數的共同特征，在“具體函數式—對應函數圖像—共同特征”的探究模式中滲透數學的特殊到一般的思想.

另外，函數是具有“數”與“形”兩方面內容的知識，兩者相輔相成，共同完成了對函數的數量關系和圖形特征的表征.對于指數函數的學習需要從符號、數量、圖像三方面來進行，在教學中需要借助數形結合的研究方法來開展，尤其是對于指數函數底數a的討論需要依托數形結合思想.可以讓學生結合具體問題，繪制函數，直觀的圖像來分析a的取值對于圖像變化的影響，如圖1，數形結合的方式幫助學生突破教學內容的重難點.而在習題課教學中也應該設置數形結合的習題，讓學生結合直觀的函數圖像來解題，深刻感受數形結合解題的便利性.

圖1

四、滲透思想方法，提升數學思想

對于指數函數的講解，除了需要重點講授核心知識，還需要充分滲透數學的思想方法.教學中需要以函數知識為載體，讓學生在數學實踐中深入認識知識本質，理解知識研究的思想方法，將其內化為自身的認知.對于指數函數的教學，需要在課堂中滲透模型思想、特殊到一般、數形結合思想.

在概念的生成階段，需要學生從問題中抽象數學模型，這其中必然涉及到數學的建模方式，在講解過程中就可以滲透模型思想，可以從問題的自變量和因變量入手，構建變量關系，形成數學表達式，自主構建的過程就是對模型思想的充分體現.

數學上的“特殊到一般”是一種具體問題過渡到大范圍，使其成為普遍適用結論的過程.指數函數的教學中該思想應該在兩個階段來滲透：一是函數概念構建時，需要教師依托實際問題，如以GDP增長為背景的指數函數y=1.089x、以碳14科學研究為背景的指數函數讓學生思考函數在結構上的共同特征，從中獲得指數函數的一般形式，并對其底數的取值范圍展開分析，獲得具有一般性的限制.該過程中需要滲透“由特殊到一般”的數學思想，這樣的教學方式不僅符合學生的認識規律，同時也是對學生學習方法的指導.而在函數性質的

五、結束語

在指數函數教學中要充分揭示內涵，使學生掌握函數表達式的核心內容；讓學生體驗函數知識的探究過程，逐步培養學生的邏輯思維；重視探究過程的基礎運算，提升學生的推理能力；在知識的講解中合理滲透思想方法，以提升學生的數學思想為最終目的.每一次數學的探究過程，都是培養學生數學素養的重要機會，要在教學中優化設計，使學生的能力獲得長遠發展.