基于數(shù)學模型的“微專題”設計——以不等式模型≤ln（x+1）≤x為例

☉江蘇省常熟市中學 宗 蕾

相對于綜合性強、覆蓋面廣的“大專題”教學而言，微專題教學具有“因微而準、因微而細、因微而深”的優(yōu)勢.微專題教學把知識難點分解成一個個獨立的問題集，從而在課堂教學中幫助學生集中火力突破難點、拓展思維，能起到“見微知著”.促進學生深度學習的效果.正如教學設計是決定課堂教學成效的關鍵因素，“微專題”的設計也決定了微專題教學的成敗.“微專題”設計是指教師針對某一具體知識點、能力點、易錯點或檢測點，從其涉及的基本概念、基本原理或基本方法入手，精選例題和習題，編制、設計成能夠在一定課時內(nèi)完成的專題（教學任務）.有效的微專題設計，離不開一定的數(shù)學模型.可以說，微專題的設計就是數(shù)學模型的選擇到數(shù)學模型的分析、應用、拓展的過程.因此，微專題的設計一般需要遵循以下幾個步驟.

一、選擇適合的數(shù)學模型

數(shù)學模型是利用數(shù)學語言模擬現(xiàn)實的模型，即把某種事物的主要特征和關系抽象出來，用數(shù)學語言概括的一種數(shù)學結(jié)構(gòu).G·波利亞指出：“良好的組織結(jié)構(gòu)使得所提供的知識容易應用，這甚至可能比知識更為重要.”數(shù)學模型就是結(jié)構(gòu)化的知識，指引著問題解決的路徑.可以說，缺少數(shù)學模型這一“中間環(huán)節(jié)”，數(shù)學試題與解題目標就會隔著難以逾越的障礙.在微專題的設計中，首要就是選擇適合的數(shù)學模型，選擇的數(shù)學模型需要符合四個特征：工具性、適應性、可變化性、可延展性.

例1 （2018年浙江第10題）已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，則（ ）.

A.a1＜a3，a2＜a4B.a1＞a3，a2＜a4

C.a1＜a3，a2＞a4D.a1＞a3，a2＞a4

該題需要設公比為q，由a1-a3=a1（1-q2），a2-a4=a1q（1-q2），不難看出，此題就是判斷公比q的取值范圍，其中選項A對應q∈（1，+∞），選項B對應q∈（-1，0），選項C對應q∈（-∞，-1），選項D對應q∈（0，1），由此可見，解決本題的關鍵是轉(zhuǎn)化為一個關于公比q的方程，并判斷其解的范圍.

解析：由a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）≤a1+a2+a3-1（不等式放縮依據(jù)：lnx≤x-1），得a4≤-1，可得公比q＜0.

若q≤-1，則a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3）=a1（1+q）（1+q2）≤0，而ln（a1+a2+a3）=ln［a1（1+q+q2）］≥lna1＞0，矛盾.

故有q∈（-1，0），選B.

例2（2018年全國卷Ⅲ理第21題）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.若a=0，證明：當-1＜x＜0時，f（x）＜0；當x＞0時，f（x）＞0.

又f′（0）=0，得f（x）單調(diào)性，從而得證.

上述不等式模型就是經(jīng)過高度抽象后的結(jié)構(gòu)化知識，基于不等式模型的重要地位，可以此為核心進行微專題設計.通過對不等式模型及典型問題的分析，總結(jié)出一般的規(guī)律、方法或者技巧，優(yōu)化學生的知識結(jié)構(gòu)，強化學生的思維方法，提升學生的解題能力，從而提高學生的數(shù)學學科素養(yǎng).

二、追溯數(shù)學模型的本源

每個數(shù)學模型都有其來源.帶來學生深入挖掘數(shù)學模型的來源，是“微專題”設計的重要環(huán)節(jié).追溯數(shù)學模型的本源，利于提高學生的學習興趣，培育學生科學精神和探究意識，特別是學生從數(shù)學模型的形成過程中掌握了其背后蘊含的數(shù)學原理，這是學生深度學習的重要基礎.帶領學生追溯數(shù)學模型的本源也利于培養(yǎng)學生形成“從已有經(jīng)驗出發(fā)，將實際問題抽象為數(shù)學模型并進行解釋與應用，進而獲得數(shù)學理解”的模型思想.在“微專題”設計中呈現(xiàn)數(shù)學模型的本源探究，可以突出三個方面：

1.追溯數(shù)學模型的原型

2.模擬數(shù)學模型形成情境

模擬呈現(xiàn)數(shù)學模型形成時的情境，可以使學生“代入”到相應的境域，形成“專家型”的思考，從而“發(fā)現(xiàn)”知識和規(guī)律.在這里，教師設計有梯度的問題是關鍵.

問題1：假設小明在銀行里存1塊錢，銀行的年利率是100%.

（1）請問一年后，“本金+利息”小明共能得到多少錢？

（2）若小明1塊錢存半年，取出再存進去，一年后小明能得到多少錢？

（3）若小明1塊錢每1個月存取一次，一年后小明能得到多少錢？

（4）若小明1塊錢每天存取一次，一年后小明能得到多少錢？

意圖：通過此問題了解“復利”的概念，通過運算引導學生發(fā)現(xiàn)復利的變化規(guī)律：本利和的多寡，由計息周期而定，以一年來說，可以一年只計息一次，也可以每半年計息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次.當然計息周期愈短，本利和就會愈高.

問題2：如果計息周期無限制地縮短，比如說每分鐘計息一次，甚至每秒，或者每一瞬間（理論上來說），會發(fā)生什么狀況？本利和會無限制地加大嗎？

意圖：通過計算器驗證，發(fā)現(xiàn)最后的本利和趨向于2.718 28……于是得到一般化的結(jié)論

3.推導數(shù)學模型的結(jié)論

讓學生嘗試推導出數(shù)學模型，學生在得到結(jié)論的同時能夠獲得巨大的成就感，不僅初步獲得了數(shù)學建模的方法，更重要的是通過數(shù)學的方法獲得了新知，打開了一扇通往廣闊世界的大門.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，利用導數(shù)容易得到ln（x+1）-x≤0恒成立，即ln（1+x）≤x成立.

在ln（1+x）≤x的基礎上，把x用x-1代入，得到lnx≤x-1，把x用代入，得到ln，經(jīng)過變形得到，再把x用x+1代入，于是就得到

三、模型應用及變式技巧

數(shù)學模型是為解決數(shù)學問題服務的.在“微專題”設計中，教師需要立足學生的經(jīng)驗背景、知識水平、理解程度，立足知識之間的聯(lián)系設計數(shù)學模型的應用例題，讓學生在例題的思考與解答中體會模型的應用方法與應用技巧，加深對數(shù)學模型的理解.首先，設計的例題要具有代表性，能夠直接體現(xiàn)數(shù)學模型應用的一般規(guī)則.其次，例題要具有層次性，由易到難，由一般應用到復雜應用逐層展開.再次，例題需要體現(xiàn)一定的認知沖突性，利用學生思維與例題要求的差異，碰撞出思維的火花，在認知沖突中加深反思，明了方向.

例4已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a≠0）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）+（a+1）x+4-e≤0對任意x∈［e，e2］恒成立，求實數(shù)a的取值范圍（e為自然常數(shù)）；

（3）求證：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn?。╪≥2，n∈N*）.

解析：（1）（2）略.

（3）證明：由（1）知，f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），

即-lnx+x-1＞0，所以lnx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立.

因為n≥2，n∈N*，

本題是數(shù)學模型應用的較高層次，同時又有一定的變化，與學生原有思維間存在著一定的認知沖突.學生要先利用行裂項.教師通過此例題可以更好地發(fā)展學生靈活運用數(shù)學模型的能力.

四、數(shù)學模型的延伸研究

對數(shù)學模型的理解和應用不應閉門造車，教師應該充分發(fā)揮數(shù)學模型“知識聯(lián)系橋梁”的特性進行適度地拓展延伸.對數(shù)學模型除了溯源之外，還需“登高”.教師對數(shù)學模型的延伸研究也是教師的一個再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程.在“微專題”設計中，教師通過對數(shù)學模型的深入研究，深刻把握問題的實質(zhì)，不斷拓展數(shù)學模型的外延，使學生對數(shù)學知識的本質(zhì)有著更深刻的理解，達到觸類旁通、觸碰問題本質(zhì)的目的，從而掃除解決問題的障礙.

例5 （2017年浙江第22題）已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*）.證明：當n∈N*時，

證明：（1）略.

總之，從系統(tǒng)思想的角度看，“微專題”是“大專題”的一個有機補充，在促進學生深度理解數(shù)學知識、提升解題能力、培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)方面起著重要的作用.通過科學選擇數(shù)學模型、追溯數(shù)學模型的本真、應用拓展數(shù)學模型，提升“微專題”設計的整體水平，從而促進學生對基礎知識的復習鞏固，促進學生基本技能的提升，幫助學生建立起系統(tǒng)的認知，強化學生深度學習的能力.