2018年高考命題創新的四個視角*

☉四川內江師范學院數學與信息科學學院 胡 琳 劉成龍

創新作為第一動力，高考數學命題應始終堅持這一導向.高校要選拔具有創新潛質的人才，高考數學必須重視對學生創新意識的考查.研究近年高考試題，不難發現創新成為了新的熱點和亮點.高考命題創新體現在四個方面：命題理念創新、試題題型創新、試題背景創新和試題解法創新.其中，理念創新是命題創新的靈魂，題型創新是命題創新的抓手，背景創新是命題創新的載體、解法創新是命題創新的落腳點，這四個方面相互促進、相互滲透，構成了一個完整的命題創新系統（如圖1）.本文以2018年高考試題為例，分析高考命題創新的四種視角以及創新視角下的幾種創新型試題.

圖1

視角一、命題理念創新

命題理念引領命題工作的開展.一直以來，高考命題理念處于不斷的調整中，比如從“雙基”立意發展到能力立意，再發展到素質立意等等.十九大明確提出“落實立德樹人根本任務”.在此背景下，2018年高考命題將“立德樹人、服務選才、引導教學”作為高考的核心功能.這是對命題理念的創新.基于此，命制了立德樹人型、素養立意型試題.

1.立德樹人型

“課標”指出：數學教育承載著落實立德樹人根本任務.高中課程內容要落實習近平新時代中國特色社會主義思想，有機融入社會主義核心價值觀，中華優秀傳統文化、革命文化和社會主義先進文化教育內容，充實豐富培養學生社會責任感、創新精神、實踐能力相關內容［1］.2018年高考命題堅持立德樹人的基本導向，命制了一系列立德樹人型試題，意在通過德育滲透，培養學生良好的道德品質.

例1（2018年全國Ⅲ卷3題）中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫棒頭，凹進部分叫卯眼，圖2中木構件右邊的小長方體是棒頭.若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（ ）.

圖2

評析：榫卯（sǔn mǎo），是中國古代傳統的一種木匠工藝，指在兩個構件上采用木頭凹凸拼接的形式，凸出來的部分稱為“榫”，凹進去的部分叫做“卯”，榫卯相契合，從而使木頭與木頭完美銜接.榫卯是極為精巧的發明，這種構件連接方式，使得中國傳統的木結構成為超越了當代建筑排架、框架或者鋼架的特殊柔性結構體，不但可以承受較大的荷載，而且允許產生一定的變形，在地震荷載下通過變形抵消一定的地震能量，減小結構的地震響應.本例以榫卯為載體，著重介紹我國工匠們的精湛技藝、感悟古人的偉大智慧，這凸顯了我國古建筑技藝的世界領先地位.一方面，可以讓學生了解傳統文化，便于傳承傳統技藝，增強文化自信，培養學生的愛國主義情懷；另一方面，通過感受古人的價值觀和世界觀，增強學生社會責任感，育人于無聲無息之中.

2.素養立意型

素養指數學學科核心素養.數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的.數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析［1］.2018年高考命題將考查核心素養作為基本理念，這是對“雙基”立意、能力立意、素質立意的深化.

例2（2018年全國Ⅲ卷理科第19題）如圖3，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧C（D所在平面垂直，M是C（D上異于C，D的點.

（Ⅰ）證明：平面AMD⊥平面BMC；

（Ⅱ）當三棱錐M-ABC體積最大時，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值.

解：（Ⅰ）證明略.

（Ⅱ）當三棱錐M-ABC體積最大時，M位于C（D的中點.將原圖補成如圖3的三棱柱，顯然平面MAB與平面MCD所成二面角為∠APD，于是sin故平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值為

圖3

評注：本例著重考查學生直觀想象素養.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.第（Ⅱ）問的解答方法有多種，比如：向量法、幾何法（定義法）等等，但眾多方法中補形法真正揭示了問題的本質，體現了幾何直觀的重要魅力.我們認為命制本例的意圖是增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，形成數學直觀，在具體的情境中感悟事物的本質.

視角二、試題題型創新

試題題型創新是理念創新的直接體現.高考命題在試題題型上的創新步伐一直沒有停止.《2018年普通高等學校招生全國統一考試大綱：理科》（下文簡稱《考試大綱》）指出：“在考試中要有研究型、探索型、開放型等類型的試題［2］.”研究型、探索型、開放型試題正是高考命題開發的創新型試題.這些類型試題對拓寬學生思維模式、豐富學生認知結構有益.基于此，2018年高考中呈現了一些題型創新試題.

1.結論開放型

按題目中條件或結論等成分確定與否，可將數學題分為封閉題和開放題兩類.凡是具有完備的條件和固定的答案的題目稱為封閉題，凡是答案不固定或者條件可以變化的題目稱為開放題［3］.其中，條件固定，答案不固定的題目稱為結論開放型試題.結論開放型試題將思維的空間留給了學生，將話語權留給了學生，有利于培養學生自主探究的學習方式.

例3（2018年北京卷理科13題）能說明“若f（x）>f（0）對任意的x∈（0，2］都成立，則f（x）在［0，2］上是增函數”為假命題的一個函數是______.

評析：本例結論不唯一，是典型的結論開放型試題.學生解答本例可能出現無窮多個答案，這充分暴露了學生的思維，展示了學生的自主權.盡管開放性試題給閱卷工作帶來困難，但其體現的是思維的多元化，這也正是命題者命制開放性試題的初衷.

2.閱讀理解型

閱讀屬于信息輸入加工形式，是人類汲取知識、認識世界的一個重要方式.而數學閱讀是指學生根據已有的知識和經驗，通過閱讀數學材料（數學公式、方法、圖形、符號、文字等）汲取信息，建構數學意義和方法的心理和智力過程［4］.數學閱讀過程是一個完整的心理活動過程，包含語言符號的感知和認讀，新概念的同化和順應，閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動因素.同時它也是一個不斷假設、證明、想象、推理的積極能動的認知過程.從心理學角度分析，數學理解的本質是學習者在頭腦中形成關于這個知識的內部網絡，即建立了該知識的圖式［5］.閱讀理解型試題是指以閱讀材料形式呈現的試題.閱讀材料往往介紹一個新定義、一種新規則、一種新運算、一種新關系，這些新的信息提供給學生一個新的問題情境，學生需要經歷現場篩選—加工—內化—運用等過程，顯然該試題是對傳統試題的一種命題創新.

例4（2018年北京卷理科20題）設n為正整數，集合A={α|α=（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k=1，2，…，n}.對于集合A中的任意元素α=（x1，x2，…，xn）和β=（y1，y2，…，yn），記M（α，β）=［（x+y-|x-y|）+（x+y-|x-y|）+…+（x+11112222nyn-|xn-yn）|］.

（Ⅰ）當n=3時，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值.

（Ⅱ）當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素α，β，當α，β相同時，M（α，β）是奇數；當α，β不同時，M（α，β）是偶數.求集合B中元素個數的最大值.

（Ⅲ）給定不小于2的n，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素α，β，M（α，β）=0.寫出一個集合B，使其元素個數最多，并說明理由.

評析：本例是典型的閱讀理解型試題.本例呈現三新：情境新、規則新、問題新，這需要學生調整思維方式，快速進入新的問題系統.例中有三多：數學符號多、文字多、問題多，這需要學生具有較強的閱讀能力、遷移能力.解答時，學生需要經歷信息篩選→信息加工→概念內化→概念應用，整個過程為：通過閱讀認識集合A中代表元素的特征（n維空間中的點），厘清集合A中任意兩元素α，β做運算的規則M（α，β），并深刻認識在此規則下M（α，β）是一個數，然后運用規則解答問題.解答過程中包含新定義的認識、理解、運用，著重考查學生的閱讀理解能力和信息加工能力.

視角三、命題背景創新

命題背景指命題時所選取的素材.試題背景引領著試題編擬的方向，凸顯試題的立意.2018年高考命題背景有以下特點：有濃濃的高數味道，密切聯系時代特征，學科間相互交融，充滿文化氣息等等.由此，衍生出了命題取材創新的兩類題型：高等背景型、學科交匯型.

1.高等背景型

高等背景指命題時選取素材中含有的高等數學知識、模型、問題、思想和方法，這些知識、方法、問題、思想和方法稱為高等數學背景.高等數學背景命題具有積極作用：強化中學數學與高數知識間的銜接，展示新穎的數學背景，豐富試題的內涵，拓寬試題解法，考查學生創新能力和創新意識［6］.2018年以高等數學為背景的試題呈現了高度的創新性，很好地考查了學生的創造力與發展力，有效地甄別了學生的潛質.

例5（2018年全國Ⅲ卷理科21題）已知函數f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）若x=0是f（x）的極大值點，求a.

評析：本例含有深刻的高等數學背景，比如：洛必達法則、麥克勞林公式、帕德逼近等等.下面重點介紹帕德逼近背景下試題的命制：

函數f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x中ln（x+1）系數2+x+ax2是怎么設置出來的呢？答案a=是怎么設置出來的呢？這些均源于帕德逼近，表1是函數（fx）=ln（x+1）在（0，0）處到（3，3）階的帕德逼近表.

表1

本例設計精巧、構思巧妙，對學生創新能力要求極高，這為2019年命制創新試題作出了示范.

2.學科交匯型

數學源于哲學.因此，數學與其他學科有著千絲萬縷的聯系.2018年高考命題注重數學與其他學科交匯考查，這對認識數學的基礎地位，拓寬數學學科研究領域、完善認知結構有積極的意義.

例6（2018年北京卷理科4題）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展作出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（ ）.

評析：本例選材于音樂學科中的十二平均律.十二平均律，亦稱“十二等程律”.世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的振動數之比完全相等.明朝中葉，皇族世子朱載堉發明以珠算開方的辦法，求得律制上的等比數列，具體說來就是：用發音體的長度計算音高，假定黃鐘正律為1尺，求出低八度的音高弦長為2尺，然后將2開12次方得頻率公比數1.059 463 094，該公比自乘12次即得十二律中各律音高，且黃鐘正好還原.用這種方法第一次解決了十二律自由旋宮轉調的千古難題.本例以“十二平均律”為載體，考查了等比數列的相關知識，通過“冰冷”的數學美與極具韻味的音樂完美碰撞，產生了獨特的意蘊美.

視角四、解答方法創新

解答方法創新是命題創新的落腳點.解題涉及方法的選取，好的方法令人賞心悅目，充分暴露思維的靈活性和策略的創造性.2018年高考命題以“多一點想，少一點算”為出發點，命制了一些解答方法創新的試題.

1.思想引領型

例7（2018天津卷理科8題）如圖4，在平面四邊形中 ，AB⊥BC，AD ⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，若點E為邊CD上的動點，則—的最小值為（ ）.

圖4

評析：數學思想是對數學知識的本質認識，是對數學規律的理性認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點［7］.本例考查了模型思想，所謂模型是一種結構，這種結構是通過對原型的形式化或模擬與抽象得到的.數學模型就是研究者依據研究目的，將所研究的客觀事物的過程和現象的主要特征、主要關系，采用形式化的數學語言，概括或近似地表達出來的一種結構.本例解答中運用了向量恒等式模型，優化了問題解決，這充分展示了思想的引領作用.

2.結論導航型

例8 （2018年全國Ⅲ卷理科16題）已知點M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點.若∠AMB=90°，則k=_____.

評注：本例中隱含了重要結論：如圖5，過拋物線焦點的直線l與拋物線交于A，B兩點，若準線上一點M，使得AM⊥BM，則MF⊥AB.利用該結論可以實現秒答本例.這體現了解答方法的創新性.特別指出，2018年高考命

題中有大量試題均可以用相關結論快速解答.因此，在高三復習中要注重對結論的開發與運用.

本文分析了高考命題創新的四種視角及8類創新型試題，希望通過這些視角及對有限試題的分析，讓讀者領會高考創新的機制.

圖5