基礎 素養 引領——2018年全國Ⅰ卷理科數學評析

☉安徽省合肥市第七中學 左 華

☉合肥市教育科學研究院 許曉天

當考生欣喜地走出2018年數學高考考試的考場時，教師、學生和家長都如釋重負，多年的努力終有斬獲，倍感欣慰.而廣大教師更渴盼從此試卷中窺見2018年下半年實施新課程的教學和評價的要求.我們知道新高考的核心功能是：立德樹人、服務選才、引導教學，在2018年全國Ⅰ卷理科數學試卷中，高考的核心功能得到了很好的體現.今年全國卷Ⅰ文科與理科同題的數量增多，這為以后的高考文理科合卷，作了一定的鋪墊和過渡.限于篇幅，本文將對今年全國高考數學理科Ⅰ卷進行評析，僅供同仁參考.

一、近3年全國Ⅰ卷理科數學考查知識點的對比與綜述

題號 2016 2017 2018 1集合的運算（交集），一元二次不等式的解集集合的概念及運算復數的模及復數的四則運算2 復數的模及復數的四則運算幾何概型集合的概念及運算3 等差數列的性質、前n項和餅狀圖及數據分析4 幾何概型 等差數列的基本運算復數的概念與運算等差數列的基本運算5 雙曲線的定義、幾何性質函數的單調性與奇偶性 函數的切線6 三視圖，球的體積和表面積 二項式展開式 平面向量7 函數圖像的判定 多面體的三視圖及表面積圓柱體的最短距離8 指數函數、對數函數的性質直線與拋物線的位置關系9 循環結構的程序框圖循環結構的程序框圖三角函數圖像的平移與變換 函數的零點問題10拋物線的幾何性質 直線與拋物線的位置關系 幾何概型11異面直線的夾角 基本不等式 雙曲線

12三角函數的圖像與性質 數列的性質 正方體的截面13平面向量的數量積及坐標運算簡單線性規劃求最值14二項式定理（指定項的系數）向量的夾角、向量的模簡單線性規劃求最值 數列的性質15等比數列的性質 雙曲線的幾何性質排列組合16線性規劃的實際應用導數的應用，三棱錐的體積三角函數，導數求最值17正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，兩角和與差的正弦公式正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理18面面位置關系的判定，二面角，空間向量的應用平面與平面垂直的判定，二面角平面與平面垂直的判定，直線與平面所成角19柱狀圖，離散型隨機變量的分布列、數學期望數學期望，離散型隨機變量及分布列橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系20直線與圓錐曲線的綜合問題（定值、動點軌跡、范圍問題）橢圓的標準方程和幾何性質，直線與橢圓的位置關系數學期望，二項分布，利用導數求最值點21利用導數研究函數的單調性、函數的零點問題利用導數討論函數的單調性，函數的零點利用導數討論函數的單調性，函數的極值點22 四點共圓、直線與圓的位置關系及證明參數方程與普通方程的互化及應用極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用23參數方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用解絕對值不等式、求參數的取值范圍解絕對值不等式、求參數的取值范圍24分段函數的圖象，解絕對值不等式 無 無

從近3年來的高考知識點對比來看，高中數學主干知識的考查無論在哪一年一直都是重中之重，對于常考的知識點和方法持續考查不回避.但每年試卷中的知識點的考查順序會根據命題的難度系數由易到難重新安排.

今年的選擇和填空題中，程序框圖和二項式定理沒有涉及.選擇題的壓軸題依然是第11和12題，第11題主要考查雙曲線的漸近線以及焦點的性質，第12題重點考查了正方體的截面面積的最值問題，對學生的空間想象能力要求較高.填空題中的前3題較基礎，第16題作為填空的壓軸題解法較多，可以利用簡單的三角恒等變換及均值不等式來求解，也可以利用導數來求最值，而具體在求導過程中涉及到復合函數的求導，這一知識點對大多數考生來說是個易錯點，不過也可以利用二倍角公式展開后轉化成具有乘積形式的函數，然后再求導來解決問題，這也體現了高考試題入手較寬的特點.

今年的解答題，將概率統計和解析幾何順序做了調整，意味著這兩道題的難度系數有了變化，前者難度有所加大，其他題目難度保持穩定.另外，連續3年的第17題都考查了三角函數及解三角形的知識，選擇和填空題中，對數列的考查要求也不高.第18題的立體幾何考查了面面垂直及直線與平面所成的角，而且整套試卷中并沒有考查二面角，無形中也降低了難度.對于直線與平面所成的角直接用幾何法回歸到直線與平面所成角的定義來求解也很方便，這正體現了立體幾何的本質.第19題與往年相比變動較大，這次考了解析幾何，背景依然是橢圓，題型較常見，大部分學生在平時基本都做過類似的問題，解決問題的關鍵是要把已知不熟悉的證明角相等的問題轉化為相關的兩條直線的斜率之和為零來解答，這也是對學生計算能力考查的重要方面.第20題是概率統計題，題型設置與生產生活實際息息相關，與去年不同的是這次考查的是二項分布，還結合導數知識來求函數的最大值點，將概率統計問題與函數、導數的應用有機地結合在一起，考查了學生的獨立思考，自主探索的能力，是難得的好題.第21題導數題考查的題型比較常見，近3年來導數的第一問都考查了含參數函數單調性的分類討論問題，平時學生對這類題型訓練的較多，相信會有不少學生能夠準確作答.第二問結合第一問的結果，考查對雙變量問題的處理以及韋達定理的應用，是比較常見的多變量轉化為單變量的處理方式，最后構造函數證明不等式成立.

二、2018年全國Ⅰ卷理科數學試卷特點分析

《普通高中數學課程標準（2017年版）》在評價原則中提出：考查內容應圍繞數學主線內容，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性；注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧；融入數學文化.

命題時，應有一定數量的應用問題，還應包括開放性問題和探究性問題，重點考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識，問題情境的設計應自然、合理.

眾所周知，新一輪的課程改革已經在全國部分省（市）啟動，2018年下半年將全面鋪開.因而2018至2020年過渡時期的高考試卷，一定對我們的課堂教學發揮過渡與導向的作用，今年的試卷正說明了這一點.

1.注重基礎，全面考查

2018年的高考全國Ⅰ卷理科數學依然重視對四基：“基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗”的考查，如選擇題前9題和往年大致一樣，題型相似，涵蓋了高中數學中常見的集合、復數、統計、數列、函數、向量、三視圖、解析幾何等知識內容；填空題中的第13、14、15題也是分別對線性規劃、數列、排列組合知識的考查；解答題的第17題依然考查了三角函數及正余弦定理的相關知識，這些考題有效地對學生的“四基”進行了的全面的測量.

2.考查通法，淡化技巧

所謂“通性通法”是指普遍性的數學思想方法，是對數學知識最高層次的概括與提煉，近幾年來一直是高考考查的核心.我們知道：利用特殊技巧解題是對特殊和個別問題而采取的“技巧”解法，往往“就事論事”，甚至“自古華山一條路”，大多數學生面對這種“絕妙”想法，因為自己無法夠著，從而慢慢喪失數學學習的興趣.2018年的高考理科數學全國Ⅰ卷同樣突出了對通性通法的考查，如第5題考查了曲線切線方程的求法；第13題考查利用線性規劃求最值的方法；第16題考查利用導數求函數最值的方法等，諸如此類還有很多的試題都是對數學中通性通法最直接的考查.

3.強調應用，滲透文化

數學來源于生活，又服務于生活，學習數學的最終目的是解決問題，特別是解決實際問題.例如：全國卷Ⅰ理科第3題考查了餅狀圖，而這一題的背景就來自于我國現階段新農村建設的現實，讓人耳目一新，考查的本質是利用統計數據分析來解決問題；第20題是關于產品檢驗的一道題，其本質是利用統計中極大似然法進行估計和決策的實際問題；第10題滲透對數學文化的考查，問題的背景來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，其難度不大，有利于提高學生學習數學的興趣.

4.重視計算，凸顯思維

數學學習和解決問題需要學生的數學思維，同時，數學計算是保證數學學習和解決問題的重要因素.在2018年的高考理科數學全國Ⅰ卷中的試題中，既有注重數學思維的試題，也有注重計算能力的試題，如：第6、7、9、10、11、12、13題都注重對數形結合思想方法的考查；第21題注重對分類討論數學思想方法的考查；而第1、2、4、14、17、19題重視對數學計算能力的考查.

5.傳統考點，要求各異

對數列、立體幾何和解析幾何三大傳統考點，要求不盡相同.2018年的高考全國Ⅰ卷理科數學中對數列知識點的考查延續了近3年的高考特色：只有一道選擇題和一道填空題，而且都是對數列基本知識的考查.這給我們今后教學指明了方向，即對數列知識不宜做過多的拓展.試卷中立體幾何的有關知識點考了3題，解析幾何的有關知識點考了3題，其中對立體幾何的知識考查，相對穩定，解析幾何的內容既有基礎知識的考查，也有一定思維和計算量的考查，但較之前兩年難度有所下降.

6.素養立意，重在思維

整套試題在注重數學知識考查的同時，又重視了數學核心素養的考查.數學新課標指出：學生在數學學習的過程中要形成數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六大學科核心素養，今年高考試題在很多題目中都體現了對學生學科六大核心素養的考查.下面舉例說明.

例1（理科第12題）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）.

圖1

解法1：如圖1所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接BD，BC1，C1D，則易知△BC1D是正三角形，由于正方體的12條棱中可以分為三類，它們分別平行于BC，CC1，CD，每類有4條，則平面BC1D與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等，因而平面α與平面BC1D平行或重合.通過圖形觀察可知，當平面α分別位于點C和平面BC1D之間及點A1和平面AB1D1之間或與平面BC1D、AB1D1重合時截面為三角形，且此時截面面積最大時為.而當平面α位于平面AB1D1與平面BC1D之間時截面為六邊形，且此時截面的面積都大.不妨設平面α與平面A1B1C1D1所成的二面角為θ，由于，故當截面的投影面積最大時，截面面積最大.圖2中六邊形EFGHJK是平面α位于平面AB1D1與平面BC1D之間時所產生的截面，其在平面A1B1C1D1上的投影是如圖3所示的六邊形E1F1B1HJD1，且滿足，不妨設這個比值為x，

圖2

圖3

解法2：同解法1知當平面α位于平面AB1D1與平面BC1D之間時截面為六邊形，易知該六邊形的周長為定值，則當該六邊形是正六邊形時面積最大，且正六邊形的邊長為，此時截面的面積為

分析：這道題作為選擇的壓軸題具有一定的難度，考查了學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象等數學核心素養.

三、對全國Ⅰ卷理科數學命題的思考

2018年的全國Ⅰ卷理科高考試卷，既能有效地為高校選撥優秀的人才，又能更好地引導我們的教學，特別是高三復習的教學，因而是一份難得的好試卷.

1.有利考生

采用全國卷Ⅰ有：河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、廣東、安徽、福建9省，由于考生眾多，樣本大，加上教育發展的不平衡，導致考生學習程度參差不齊，因此試題設置了超過100分的基本題，是對廣大考生的基本檢測，是考生將來學習或工作的基礎.選擇題前三題幾乎不用動筆，直接就可寫出答案，這樣的設計，有利于考生平復自己的心情.整套試卷按照試題的難易程度，由易到難設計問題，有利于考生漸進式的發揮，最后達到思維的巔峰.整套試卷設計，充分體現了命題專家對考生的“關愛”，有利于考生正常或超常發揮自己的水平.

2.導向鮮明

試卷中的第12、16、20和21題，從不同數學知識的角度，全面考查了學生學科六大數學核心素養，這些問題達到了為高校選拔高素養人才的目的.只有考生具有較高的素養，特別是思維的綜合性和創新性，方能合理解決上述四考題.至于其他的考題，大多數題型學生熟悉，解法常規，也就是：基礎與素養考查并重，全面考查四大基礎和六大學科核心素養是今年高考的兩條主線.

3.有利減負

現在我們的社會“急功近利”，部分學校為了高考所謂的好成績，課程安排不僅在周一到周五，甚至周六，幾乎每天8或9節課，更是“白加黑”的上課.在教師的“辛苦”教導下，學生更是沒有時間總結和建構數學知識與結構，更談不上從實踐中發現問題、提出問題、分析問題和解決問題.學生圍繞著教師布置的“條件和結論”都確定的各種復習資料上面的“陳題”，反反復復練習.今年高考后，筆者問了幾所學校的高三教師：你們今年的復習針對高考試題是否對路？大部分說：百分之九十五左右的精力都白費了.這反過來說明，今年的高考試題是一套“減負”的好試卷.如果堅持此種命題的模式，讓教師拼命“訓練”的學生與完成基本訓練就主動學習的學生，在基本題上面幾乎沒有差距，而對第12、16、20和22題，后者卻有很大優勢.只有如此，才能夠完全讓教師和學生從訓練的“題海”中解放出來，從而學生有時間去：思考學習的數學知識，形成完善的認知結構；應用數學知識，創造性地解決實際問題；更有時間去學習后續或更深的知識和參加社會實踐活動.讓教師有時間去思考自己的教學，改進自己的教學，努力發展自己的教師專業化水平.

4.一點感想

縱觀整套試卷，對選擇題第11、12題，填空題的第16題和解答題中的第20、21題的第Ⅱ問，在思維的深度上可以進一步加強.這些題是為數學學科核心素養高的學生，也就是為全國頂尖高校選拔人才服務的.試題必須是原創的新題，不能夠從題庫中抽取，也不能夠改編“陳題”.這讓平時教學中，特別是高三教學復習中，采用“野蠻”訓練和拼命“刷題”的學生得不到任何便宜.這樣做，引導著我們的教與學，讓教師和學生在數學學科核心素養上下功夫，不可以“機械訓練”，為學生的全面發展和終身發展打下優質良好的基礎，切實可行地減輕教師和學生負擔.

今年全國Ⅰ卷理科數學第20題，是一道難得考查學生綜合素養的好題，這道應用題，命題專家從實際問題中提煉出學生容易理解，并利用概率模型和導數工具解決的問題，命題專家付出了太多的精力和智慧.

例2（理科第20題）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每箱產品在交付用戶前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品，檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格的概率為p（0＜p＜1），且各件產品是否為不合格品相互獨立.

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p0；

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用，

（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

第（2）問發給考生的“國標”給出參考答案如下：（2）（i）已檢驗的20件產品的檢驗費用為20×2=40元.該箱余下的產品的不合格品件數服從二項分布，估計不合格品件數為180×=18，若不對該箱余下的產品作檢驗，余下的產品的賠償費用估計為18×25=450元.所以，若不對該箱余下的產品作檢驗，則EX=40+450=490.

（ii）若對該箱余下的產品都作檢驗，則只需支付檢驗費用，EX=40+180×2=400，因為490＞400，所以應該對這箱余下的所有產品都作檢驗.

但是仔細閱讀題目，可以發現如果出現不合格產品則更換為合格產品，而題目中并沒有明確指出進行更換的合格產品是怎么產生的，有沒有可能這些合格產品仍然是來自原來的產品.若按照不合格品率為來計算，0總共需要補充20件合格品，而此時需要補充的這20件合格產品就需要檢驗

即需檢驗23件產品，檢驗費用為23×2=46元，從而若對余下的產品都作檢驗，共需要支付檢驗費用應為400+46=446元，顯然有歧義.只要在原題中加上“直接”兩字，即把原問題中“如檢驗出不合格品，則更換為合格品”改為：“如檢驗出不合格品，則直接更換為合格品”，這樣“國標”答案就完全正確了.當然，兩種解答，對“需檢驗”的最終結果沒有改變.因此，命題的“題面”中的“自然語言”一定要準確，沒有任何的“歧義”.

總之，2018年全國Ⅰ高考理科試卷，在“考查基礎、注重素養和引導教學”三方面特點凸顯，達到了甄別學生進入高等學校繼續學習潛能的目的，也為我們高中數學教學，特別是高三復習教學，指出了明確的方向.H