對一道立體幾何模擬試題的多解探究

☉江蘇省海門中學 曹 鋒

立體幾何中的動態問題是指在某一個平面內，或某一條線段上探究滿足一定條件的動點位置，或者探究與動點相關量的變化情況等.作為一種動態的探究問題，這類問題具有一定綜合性與拓展性，常見的有三種類型：一是探求滿足一定條件的動點的軌跡；二是探求滿足一定條件的動點的準確位置；三是探求與動點相關量的最值或范圍.此類問題在解題中要善于從多角度分析問題，抓住問題的實質，是一些選拔性考試中經常出現的一類題型，可以非常好地考查能力，體現區分度.

【問題】（2018屆北京市海淀區高三二模試卷·14）如圖1，在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，點P在側面ABB1A1內，若D1P⊥CM，則△PBC的面積的最小值為______.

圖1

分析：本題以考生常見的正方體為載體，通過設置幾何對象之間的關系——線線垂直，結合立體幾何中的動點問題來確定相關三角形的面積的最值，有利于考生主動探索與發揮想象.本題解法靈活多樣，達到了區分不同層次考生的目的，突出了試題的選拔功能.

思路1：根據條件分析確定當線段PB最短時，S△PBC取得最小值，通過平面幾何法思維，通過輔助線與輔助面的確定得到E為AB的中點，并加以確定點P在線段EB1上，利用點與線的關系確定當PB⊥EB1時，線段PB最短，利用等積法思維的轉化來求解線段PB的最短距離即可求解相應的最小值問題.

解法1：由于點P在側面ABB1A1內，根據正方體的性質有BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥BP，

圖2

如圖2，因為B1D1⊥平面ACC1A1，CM?平面ACC1A1，所以B1D1⊥CM.

在矩形ACC1A1中，O，O1分別是邊AC，C1A1的中點，點N是AO的中點，

所以Rt△MAC∽Rt△NOO1，可得CM⊥NO1，

過點N作EF∥BD交AB，AD分別于點E，F（E，F分別為AB、AD的中點），所以CM⊥平面EB1D1F.

因為D1P⊥CM，點P在側面ABB1A1內，

所以點P在線段EB1上，

所以當PB⊥EB1時線段PB最短，

思路2：根據條件分析確定當線段PB最短時，S△PBC取得最小值，設出E—→B=λA—→B，通過向量法思維確定參數λ的值，得以確定E為AB的中點，并確定點P在線段EB1上，利用點與線的關系確定當PB⊥EB1時，線段PB最短，利用等積法思維的轉化來求解線段PB的最短距離即可得以求解相應的最小值問題.

解法2：由于點P在側面ABB1A1內，根據正方體的性質有BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥BP，

圖3

如圖3，點E在AB上，EB1為平面EB1D1與側面ABB1A1的交線.

因為B1D1⊥CM，當CM⊥EB1時，有CM⊥平面EB1D1.

因為D1P⊥CM，點P在側面ABB1A1內，所以點P在線段EB1上.

所以當PB⊥EB1時，線段PB最短，

思路3：以D為坐標原點建立相應的空間直角坐標系，設出點P的坐標為（2，b，c），根據條件D1P⊥CM確定其對應的向量的數量積為0，得到關系式c=2b-2，結合BC⊥BP來確定三角形的面積，利用二次函數的圖像與性質來確定其最小值即可.

圖4

解法3：如圖4，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D—xyz，

則D1（0，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），=（-2，2，-1）.

由于點P在側面ABB1A1內，設P的坐標為（2，b，c），其中b，c∈［0，2］，則（2，b，c-2），

而點P在側面ABB1A1內，根據正方體的性質有BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥BP，

思路4：根據條件分析確定當線段PB最短時，S△PBC取得最小值，通過以D為坐標原點建立相應的空間直角坐標系，設出點P的坐標為（2，b，c），根據條件D1P⊥CM確定其對應的向量的數量積為0，得到關系式c=2b-2，進而在平面ABB1A1內確定其關系式所對應的軌跡：點P在線段EB1上移動（E為AB的中點），利用點與線的關系確定當PB⊥EB1時，線段PB最短，利用等積法思維來求解線段PB的最短距離即可得以求解相應的最小值問題.

解法4：由于點P在側面ABB1A1內，根據正方體的性質有BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥BP，

△PBCPB最短時，S△PBC取得最小值，

圖5

如圖5，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系D—xyz，

則D（10，0，2），B（2，2，0），M（2，0，1），C（0，2，0），—M→C=（-2，2，-1）.

由于點P在側面ABB1A1內，設P的坐標為（2，b，c），b，c∈［0，2］，則（2，b，c-2），

由D1P⊥CM，可得=（2，b，c-2）·（-2，2，-1）=-4+2b-c+2=0，

解得c=2b-2，b∈［0，2］，所以點P在線段EB1上移動（E為AB的中點），

所以當PB⊥EB1時，線段PB最短，

其實，立體幾何中的動態問題主要包括：空間動點軌跡的判斷，軌跡的長度及動角的范圍，以及與之相關的其他問題等.此類問題主要在于探究空間動點的軌跡的形成過程，同時注意動點的性質以及點、線、面之間的位置關系.立體幾何中的動態問題既有“動”的行為，又能“靜”的表述，可以很好考查綜合能力，培養數學素養.H