三角最值題，多角度探究——以2018年全國Ⅰ理第16題為例

☉湖南省長沙市明德中學 何 玲

三角函數最值問題是三角函數中基本性質的重要內容之一，其一直是高考三角函數部分的重點與難點之一，也是會考、高考必考內容之一，其解題思路是合理運用三角函數基本公式將其表達式轉化為由一個三角函數表達的形式求解，或是通過導數法、基本不等式法等思維來分析與處理.2018年高考全國Ⅰ理第16題的三角函數最值問題就是三角函數最值中考查的一個重要類型之一.

題目（2018·全國Ⅰ理·16）已知函數f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是______.

分析：常見思維是把函數f（x）=2sinx+sin2x轉化為正弦型函數或余弦型函數，再利用三角函數的圖像與性質來確定對應的最值.而本題無法轉化為相應的正弦型函數或余弦型函數，那么就得回歸函數本質，考慮利用導數法、基本不等式法等其他的思維方式來處理，從而達到求解的目的.

通過對函數（fx）=2sinx+sin2x求導，結合f（′x）=0，解得cosx=或cosx=-1，通過分析極值點處cosx與sinx的對應取值情況，以及所對應的（fx）的函數值來分析與比較，進而得到函數（fx）的最小值.

解法1：由（fx）=2sinx+sin2x，可得f（′x）=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2.令f（′x）=0，解得cosx=或cosx=-1.

當cosx=-1時，sinx=0，此時（fx）=2sinx+2sinxcosx=0；

綜上分析可知，（fx）=2sinx+sin2x的最小值為

結合函數f（x）=2sinx+sin2x的最小正周期把問題轉化為求解函數（fx）=2sinx+sin2x在區間［0，2π］上的最小值，通過對函數（fx）=2sinx+sin2x求導，結合f（′x）=0，解得cosx=或cosx=-1，利用x∈［0，2π］來確定對應的x的值，從而通過端點值（f0）或（f2π），以及極值f（），（fπ），f）的求解，通過比較來確定函數（fx）的最小值.

解法2：由于函數（fx）=2sinx+sin2x的最小正周期為T=2π，那么問題轉化為函數f（x）=2sinx+sin2x在區間［0，2π］上的最小值，

由于f（′x）=2cosx+2cos2x=2（2cosx-1）（cosx+1）.

通過對函數f（x）=2sinx+sin2x求導，結合f′（x）＞0與f′（x）＜0求解并利用三角函數的圖像與性質確定相應的單調區間，利用最值法得到進而得到函數f（x）的最小值.

解法3：由f（x）=2sinx+sin2x，可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2（2cosx-1）（cosx+1）.

結合函數f（x）=2sinx+sin2x的等價轉化，通過平方處理，并利用不等式的放縮轉化為含有cosx的三角不等式，結合系數的巧妙配比，通過4次均值不等式的應用來確定函數f（x）的最小值.

結合函數（fx）=2sinx+sin2x的等價轉化，結合二倍角公式的應用，以及通過平方處理，并利用不等式的放縮轉化為含有的三角不等式，結合系數的巧妙配比，通過4次均值不等式的應用來確定函數（fx）的最小值.

解法5：根據題意，有

結合函數f（x）=2sinx+sin2x的等價轉化，通過對f（x）的關系式的平方處理，結合三角解析式的轉化，結合系數的巧妙配比，通過4次均值不等式的應用來確定函數f2（x）的最大值，進而求解二次不等式得到f（x）∈，從而得以確定函數f（x）的最小值.

對學生來說，各類考試題無疑是最典型、最熟悉的一個“問題”.如何提升學生的解題思維與能力，是每位教師思考和研究的重要課題.經過理論和教學實踐證明，一題多解是提高解題能力的有效途徑之一，在呈現不同解法的同時，暴露思維過程，拓展知識能力，培養數學素養，提升數學品質.H