2018年以數學思想立意的高考試題評析

☉內江師范學院數學與信息科學學院 李雪蓮 趙思林

數學思想方法具備很高的智力價值，是獲得數學知識的重要手段，掌握了數學思想方法才能透徹理解數學知識，而且有助于創造能力的發展.數學思想是人們對數學內容的本質認識，是對數學知識和數學方法的進一步抽象和概括，屬于對數學規律的理性認識.在高考考試大綱中，明確規定了對數學思想的考查.高中常用數學思想包括函數與方程思想、數形結合思想、轉化與化歸思想、分類與整合思想、特殊與一般思想、統計與概率思想、整體思想、極限思想、對稱思想等.數學思想作為數學的精髓和靈魂，在高考數學中占有重要地位.比如，2018年不少優秀高考試題具有以數學思想立意的特點，對其中部分試題作了分析與點評.

一、函數思想

函數概念的發展經歷了300多年，由函數概念所形成的函數思想是認識和處理變量關系的基本指導思想.函數思想是高中常用的一種數學思想，對提高分析變量關系能力具有重要的意義.

例1 （2018年全國卷Ⅲ理科12）設a=log0.20.3，b=log20.3，則（ ）.

A.a+b＜ab＜0 B.ab＜a+b＜0

C.a+b＜0＜ab D.ab＜0＜a+b

分析：需要比較a+b與ab之間的大小則需要構造出a+b與ab.若直接將a與b相加或相乘，要想得到結果是比較困難的.容易想到.由對數的運算性質可，再由對數與指數之間的關系可0.30.由指數函數的性質可得＜1.由對數函數的性質可以得到a＞0，b＜0，所以ab＜0.所以ab＜a+b＜0，選B.

點評：此題主要考查了對數與指數函數的性質.

二、數形結合思想

“數離形時少直觀，形離數時難入微.”數與形是數學中研究的基本對象，在一定條件下兩者可以實現互化.無論是“以數解形”還是“以形助數”都可以幫助學生將問題簡化.教師要有意識的引導學生將數量關系與幾何圖形聯系起來，激發解題思維.

例2 （2018年天津理數8）如圖1，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAC=120°，AB=AD=1.若點E為邊CD上的動點，則的最小值為（ ）.

圖1

圖2

點評：此題直接運用向量的知識不及運用解析法簡單.

三、分類與整合思想

在解決某些問題時，被研究的問題包含了至少兩種情況時，就需分類討論.找到分類的標準，化整為零，在每個子類中單獨解決后再將所有情況整合在一起.分類可以使研究對象化繁為簡，更有利于解決問題.

例3 （2018年浙江卷10） 已知a1，a2，a3，a4成等比數列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）.若a1＞1，則（ ）.

A.a1＜a3，a2＜a4B.a1＞a3，a2＜a4

C.a1＜a3，a2＞a4D.a1＞a3，a2＞a4

分析：由a1+a2+a3=ln（a1+a2+a3+a4）可以聯想到不等式lnx＜x-1（x＞0且x≠1）.故a4=a1q3＜-1，所以q＜0.當q＜-1時，a1+a2＜0，a3+a4＜0，即a1+a2+a3+a4＜0，與a1+a2+a3＞1矛盾.當-1＜q＜0時滿足題意.所以a1＞a3，a2＜a4，選B.

點評：在解決此問題時關鍵是聯想到不等式lnx＜x-1（x＞0且x≠1），此后還需對公比分類討論.

四、化歸與轉化思想

化歸與轉化思想往往可以將一種問題轉化為另一種問題，將復雜的、陌生的問題轉化為簡單的、熟悉的問題.

例4（2018年北京卷理科7）在平面直角坐標系中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線x-my-2=0的距離，當θ，m變化時，d的最大值為（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

分析：由點P（cosθ，sinθ）的坐標可知，點P在單位圓上.直線x-my-2=0過定點（2，0）.問題轉化為單位圓上的點到過定點（2，0）的直線的最大距離為多少.如圖3所示，當直線為x=2，單位圓上的點（-1，0）到直線的距離最大為3.故選C.

點評：此問題通過轉化后，便將求含有兩個參數的式子的最大值的代數問題轉化為求一個簡單的、熟悉的幾何問題.

圖3

五、特殊化思想

對于一般情況成立，則對于特殊情況自然也成立.當遇到復雜的問題時，可以將其特殊化，簡化問題，發現其規律或解題思路后再推廣到一般情況.

例5（2018年全國卷Ⅰ理科10）圖4來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形.圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（ ）.

A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3

分析：結論對于任意直角三角形都成立，則對于特殊的直角三角形自然也成立.可假設其三角形是直角邊為2的等腰直角三角形.通過計算可得SⅠ=2，SⅢ=π-2，SⅡ=2.所以p1=p2＞p3.故選A.

點評：在解決選擇題與填空題，這種不追求過程的題目時，往往可以將問題特殊化得到結果.對于需要展現問題解決過程的題目依然可以將問題特殊化，幫助探尋一般情況下的解題思路.

圖4

六、概率與統計思想

概率與統計思想在生活中運用的十分廣泛，基于數據的研究必然會運用到概率與統計思想，概率與統計思想涉及到數據分析與數學建模.

例6（2018年全國卷Ⅱ理科8）我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30=7+23.在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是（ ）.

分析：不超過30的素數有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個.隨機選取兩個不同的數共有=45（種）選法，其中和等于30的有{7，23}，{11，19}，{13，17}，共3種選法.所以其和等于30的概率為，故選C.

點評：此題包括了數據收集，數據整理，數據分析，還運用古典概型數學模型.

七、整體思想

學習數學必須樹立整體思想，否則往往會得到矛盾的結論.從整體的角度考慮局部與整體的關系，可以使問題變得簡單.

例7 （2018年全國卷Ⅲ文科11）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C=（ ）.

點評：此題將a2+b2-c2視為一個整體，結合余弦定理將可以很快捷地解決此問題.

除了上述思想外，高中常用數學思想還有建模思想、集合思想、隱含條件思想、逆反思想、參變數思想.在數學領域內要善于用數學思想的眼光去分析和解決問題，鍛煉思維，激發創造性.