雙變量不等式證明策略——從2018年全國Ⅰ卷導數題說起

☉江蘇省徐州市第三十六中學 袁克政

一、命題評析

（1）討論（fx）的單調性；

（2）若函數（fx）存在兩個極值點x1，x2，證明＜a-2.

本題是以導數為背景的雙變量不等式問題，較為常規，但作為壓軸題，對考生的思維能力及運算能力要求較高.筆者初見此題有似曾相識之感，研究發現，此題源于2011年高考湖南卷文科第22題：

（1）討論函數f（x）的單調性.

（2）若函數f（x）有兩個極值點x1，x2，記過點A（x1，f（x）），B（x2，f（x2））的直線的斜率為k，問：是否存在實數a，使得斜率k=2-a？如果存在，求出a的值；如果不存在，請說明理由.

對往年高考題進行變式，也是高考命題的依據，從兩道題目的已知函數及問題設置來看，2018年全國卷Ⅰ理科第21題是將2011年湖南高考文科第22題進行推陳出新.

二、問題解答

題目中的兩個變量為已知函數的兩個極值點，因此兩個變量之間必然存在某種關系，挖掘出這種關系，是問題順利求解的關鍵一步.

解析：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）.

當Δ=a2-4≤0，即-2≤a≤2時，f′（x）≤0，所以函數f（x）在（0，+∞）單調遞減；

當Δ=a2-4＞0時，a＜-2或a＞2. 若a＜-2，0，且＜0，所以在（0，+∞）內，f′（x）≤0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減；若，所以在區間（0，x1），（x2，+∞）內，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；在（x1，x2）內，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增.

綜上，當a≤2時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減；當a＞2時，函數f（x）在區間f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；在內，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增.

（2）方法1：由（1）知，當a＞2時，函數f（x）存在兩個極值點x1，x2.由根與系數的關系知，x1x2=1.

問題得證.

方法2：由（1）知，當a＞2時，函數f（x）存在兩個極值點x1，x2.由根與系數的關系知，x1+x2=a，x1x2=1.

評析：上述兩種思路殊途同歸，但思路2目的性更強，通過所給條件，利用根與系數的關系，找到兩個變量之間的關系.從而實現了將雙變量化為單變量求解.

三、變式拓展

變式1：已知f（x）=（a+1）lnx+ax2+1.

（1）求f（x）的單調區間；

（2）設a≤-2，證明：對?m，n∈（0，+∞），|f（m）-f（n）|≥4|m-n|.

解析：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）.

當a+1≤0，即a≤-1時，在區間（0，+∞）內f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞減；

當a＜0且a+1＞0，即-1＜a＜0時，令f′（x）=0，得x=f′（x）＞0，f（x）單調遞增；在區間＜0，f（x）單調遞減.

當a≥0時，在區間（0，+∞）內f′（x）＞0，所以f（x）單調遞增.

綜上，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；當a≤-1時，f（x）在（0，+∞）上單調遞減；當-1＜a＜0時，f（x）遞減.

（2）不妨設m＞n，而a≤-2，由（1）可知，f（x）在（0，+∞）單調遞減，從而對?m，n∈（0，+∞），要證|f（m）-f（n）|≥4|m-n|，只需證f（n）-f（m）≥4（m-n），即f（n）+4n≥f（m）+4m.

令g（x）=f（x）+4x，則

故g（x）在（0，+∞）上單調遞減，所以f（n）+4n≥f（m）+4m，即|f（m）-f（n）|≥4|m-n|.問題得證.

評析：注意到所證不等式f（x2）-f（x1）≥4（x1-x2）結構特征，通過構造函數g（x）=f（x）+4x，將兩個變量合二為一，進而將所證不等式轉化為判斷新函數的單調性求解.

（1）若函數f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，求a的取值范圍；

（2）設m，n∈R+，m≠n，求證：

解析：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），

因為f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即x2+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立.

當x∈（0，+∞）時，由x2+（2-2a）x+1≥0，

所以2a-2≤2，即a≤2.

綜上，a的取值范圍是（-∞，2］.

由（1）知，當a=2時，h（x）在（1，+∞）上是單調增函

評析：本題在求解中通過轉化變形、整體換元，將雙變量合二為一，進而構造新函數，將所證不等式轉化為求新函數的最值問題處理.

通過對以上幾例的分析與求解，不難發現，雙變量不等式問題求解的關鍵是將兩個變量合并為一個變量，再構造新函數，利用新函數的性質.另外此類問題還有一個共同特點，即構造的新函數都與已知函數有關，且新函數的性質在前一問中已經得出，因此求解中要注意前后問之間的關聯.H