基于核心素養下直觀想象力的教與學——以幾道高考題為例

☉廣東省佛山市順德區第一中學 魏 智

近年來，高考全國卷的難度有所降低，充分體現了2017版新課程標準對中學數學教學的相關要求，更加突出通規通法，貼近生活，體現試題的人性化、科學化.正方體不僅是大家最熟悉的空間幾何體，而且具有諸多特殊的性質，所以頻繁出現在立體幾何的考題中.正方體與抽象平面相結合，可以充分考查學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養.本文以近年來的高考題為起點，對此類問題的解決方法加以闡述.

例1 已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）.

圖1

分析：由正方體的特點可知，平面α∥平面ABC，為了保證截面面積盡可能大，平面α需與正方體的每個面都相交，即截面是一個對邊相互平行的平面六邊形，如圖1所示，可將抽象平面具象化，在圖中畫出.

解：設AE=x（0＜x＜1），六邊形EPQRTN為截面在底面的射影.由于半平面ABC與底面APT所成二面角θ的余弦

例2 平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為（ ）.

分析：根據正方體的特點，依據面面平行的判定定理，可畫出與平面CB1D1平行，且與平面ABCD、平面ABB1A1都相交的平面，如圖2所示，將抽象平面具象化.

解：由正方體特點可知，平面BDA1∥平面CB1D1，

所以m∥BD，n∥A1B，

所以m，n所成角即為BD、A1B所成的角，

圖2

圖3

例3 平面α的垂線與正方體ABCD-A1B1C1D1的各個面所成角都相等，則平面α與底面ABCD所成二面角的正弦值為______.

分析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，體對角線AC1與各個面所成的角都相等，所以平面α的垂線與AC1平行，所以平面α與平面BDA1平行，如圖3所示，從而將抽象平面具象化.另外此題也可以建立空間直角坐標系，用向量法解決.

解：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面α與平面BDA1平行，而平面BDA1與底面ABCD所成二面角的正弦值為，所以平面α與底面ABCD所成二面角的正弦值為

例4 如圖4，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M為棱BC的中點.平面α過棱AB且垂直于平面DMC1，則DC1與平面α所成角的正弦是（ ）.

圖4

分析：根據正方體的特征，可畫出與平面DMC1垂直的平面（記為平面β），此平面與平面α平行，如圖5所示，從而將抽象平面具象化，只需求DC1與平面β所成角的正弦即可.另外此題也可用空間向量法解決.

解：在平面BCC1B1內，過點C作CH⊥C1M交棱BB1于點H，交C1M于點K，在平面ABB1A1內，過點H作HG∥AB交棱AA1與點G，連接DG，則平面CHGD∥α.

由上可知MC1⊥平面CHGD，所以C1M⊥DK，

所以DC1與平面CHGD所成的角為∠C1DK.

設正方體的棱長為2，

圖5

圖6

此類抽象平面問題主要有兩種處理方法，一種是幾何法，即充分利用正方體自身的性質，結合立體幾何基本知識，將抽象平面具象化，從而將所求問題進行轉化，進而得以解決.另一種是空間向量法，因為是正方體，可以很方便的建立空間直角坐標系，進而利用空間向量知識進行求解.不過兩種方法各有優劣，幾何法計算量小，但將抽象問題具象化較難；向量法思維簡單，計算量大，而且如果不是傳統的空間角與距離問題，用向量法往往難以處理.

除了掌握方法，對于正方體的結構特點及常見性質也要了熟于心，比如上面各題所指涉的性質，如圖6，在正方體ABCD-A1B1C1D1中有：

（1）每一條棱與平面AB1D1所成線面角都相等；

（2）AC1與正方體各個面所成角都相等.

另外還有：

（3）四面體A-B1D1C為正四面體；

（4）平面BDA1∥平面CB1D1，它們垂直且三等分AC1；

（5）正方體的外接球、內切球球心重合，且都為正方體的中心.

熟悉并掌握這些正方體固有的性質，對于抽象平面具象化的順利完成是很有必要的，利于學生熟悉陌生問題，從而能高效率的解決此類問題.