看穿數學現象，直達問題本質

☉江蘇省張家港市樂余高級中學 高 遠

能在短時間內就將高考試題看出結果自然是對試題本質與核心攫取、掌握尤為精準的呈現，這說明學生對基本概念、公式、定理等數學內容的內涵與外延及其使用方法已經達到尤其熟練的程度，學生能夠在一眼看穿數學現象的基礎上直達問題核心并獲得高效的思維呈現是高三數學教師復習教學中一直追求的最高目標.

一、數學高考復習的著眼點

當今高考一直立意于“多一點思考、少一點計算”的理念進行試題的編制，這是對學生數學理解、問題解決、思維品質優化等諸多數學能力的考查，高三數學教師應明確清晰命題這一理念并圍繞這一中心進行數學復習教學.

1.準確的數學理解

教師在高三數學的復習教學中要引導學生從學科的角度對數學進行整體的認識，學生在數學核心內容的結構上一旦形成準確的分析，便能對知識內部的聯系以及數學問題的內核形成準確的理解，透過數學現象直達問題本質并看出題目的結果也才有可能實現.因此，教師應著眼于數學的理解進行具體的復習教學.

2.簡約的解題思路

基礎數學雖然表面看似紛繁復雜，但其根源卻往往都是精簡而樸實的，解題思路與過程實際上也具備簡約的特點，教師關鍵要引導學生排除干擾環節并打開解題的快速通道.不過，值得注意的是，解題思路與過程的簡約并不代表解題步驟的省略，而是問題的精準理解以及思維品質的優化.

3.優秀的思維品質

近年來的高考命題在知識的考查上更加注重其理解與應用，尤其是知識遷移中的綜合靈活應用得到了更加廣泛的覆蓋，這所有的考查實質上都是側重對學生個體理性思維廣度、深度與潛能的考查.事實上，學生能看穿數學現象并直達問題本質必須具備對數學內涵與思想方法的直觀、直覺、迅速的理解，這一借助直覺思維與邏輯推理達成的認知實質上正是思維品質優化的結果.

二、看透問題本質的教學之法

1.著眼于題目主干進行題根的探尋

學生在試題的審視中如果能夠抓住題族的根祖與根基，就等于抓住了知識的主干，因此，教師在高三數學復習教學中應善于引導學生對考點與題根進行網絡建構并組織舉一反三的練習，使學生能夠在一道題中學會一類題的解法并取得事半功倍的復習效果.

例1 已知數列{an}中，a1=1數列{bn}的通項公式.

此題的常規解法是先求得{an}的通項公式，繼而再求得{bn}的通項公式.但此題為何沒有提出求{an}通項公式的要求呢？降低難度？

故等比數列cn+1=4cn為線性數列bn+1=4bn+2的題根（{cn}本題的一級題根）.

由此可見，弄清本題的題根就可以看出此題的解題思路以及最后的結果.

2.著眼于學科并進行整體審視

很多數學問題置于某一模塊或知識點時往往難以理清其脈絡，但如果站在學科的高度并對其信息進行類比、聯想、知識遷移與應用便往往能使其迎刃而解.因此，教師在具體的復習教學中應善于引導學生對知識間的聯系進行體會，使學生感受到數學的整體性并因此看出問題的結果.

例2 如圖1，一小球自M處落下并經過管道落至A或B或C處.該小球在各岔口進入左右管道的機會是相等的.某商場利用這一設備進行了促銷活動，假如將小球落到A、B、C處分別設為1、2、3等獎.

（1）已知獲得1、2、3等獎的折扣率分別為50%、70%、90%，記隨機變量ξ為獲得k（k=1，2，3）等獎的折扣率，則隨機變量ξ的分布列及期望Eξ分別是多少？

圖1

（2）假如有3人參加此次活動，將獲得1等獎或2等獎的人次記作隨機變量η，求P（η=2）.

考生在此題上的得分并不高，這說明大多數考生對于此題的問題本質并沒有吃透，但如果學生能夠從學科的角度來整體審視此題，學生很快就能發現此題本質上只是一個分類計數與分步計數的問題.

圖2

圖3

圖1中的背景與內涵在增加了圖2、圖3這兩個過渡之后很快變得一目了然，圖2這樣的圖形在分類計數加法原理與分步計數乘法原理的講解中都有所涉及，類似杭州到北京有哪些路徑之類的問題也大多在教學中請學生數過，諸如圖3中增加岔路口的問題雖然變得相對復雜一些，但其本質并沒有改變，經歷一個岔路口即會經歷一次選擇這一本質步驟是解決此類問題時應該牢牢把握的.

經歷不同岔路口這一事件類似分步計算且都屬于“積事件”，A、B、C通道的設計與分類加法計數類似且都屬于“和事件”.因此，站在數學學科整體的高度對此問題進行理解就能很快把握問題的本質并順利求解了.

三、看出問題結果的應考之術

解題做到“快、準、靈”必須建立在準確把握題目特點的基礎上并進行靈活、巧妙解法的選擇，這對于看出問題結果來說是一個外在的表現.高三數學教師在具體的復習教學中應善于引導學生進行解題經驗與策略的積累并以此促進學生考試時從容應對，一般來說，教師在引導學生應對高考時需要關注數形結合、歸納類比思想以及一些特殊的解題策略.

1.強調數形結合思想

數量關系與空間形式簡單說來即為數與形，由此可見，數學學習與研究的基本方法必然是數形結合這一最為重要的思想方法.圖形或圖像在具體問題中的應用往往能使問題中的信息更加直觀地呈現出來并因此降低學生的思維難度，因此，教師在具體教學中應加強數形結合思想方法的提煉并因此促進學生對問題結果的把握.

例3已知函數f（x）=x2-2ax+15-2a的兩個零點分別為x1，x2，且在區間（x1，x2）上恰好有兩個正整數，求實數a的取值范圍.

解：顯然f（-1）=16≠0，所以x1，x2也是方程的兩個零點.

畫出函數圖像，如圖4所示：

圖4

此題就應用了參數分離與數形結合的方法幫助學生打開了思維的斷點，對接問題和圖像的特點，以此輕松應對相應的問題.

2.強調歸納類比思想

歸納類比這一推理方法在數學學習中也是一種常見的思維方法，很多數學問題的發現以及數學內容的理解往往都會依賴歸納類比這一思想方法，因此，教師在具體教學中應強調歸納類比思想在具體問題中的運用并以此幫助學生迅速尋得解題的方向與大致結果.

3.重視特殊策略的提煉

很多特殊值、特殊點、特殊關系的運用在一些一般性數學問題的解決有困難時往往能夠起到特殊的作用，一般來說，很多選擇題、填空題的解答以及這類題目的思路探尋或結果驗證都可以運用這一特殊技術策略.

4.強化正難則反的策略

很多問題從其正面進行解決時往往會令人感覺棘手，此時聯想其逆向或反面內容往往會令題目迎刃而解，從條件出發進行解題無法得出結論時，聯想正難則反的策略往往能夠在改變思維方向時獲得反面的思考并順利解題.因此，教師在具體教學中應善于引導學生在一些選擇題或填空題中運用此法并獲得解題奇效.

考試的結果往往會受知識的多寡、能力的高下、心態的好壞等多方面的影響，高考復習得越是充分越能幫助學生在高考中獲得理想的成績，因此，教師在具體的數學高考復習中一定要幫助學生掌握應對高考的知識、技術、策略以幫助學生抵達數學復習的最高境界.