“六法”破解參數題，轉化解決三角形

☉湖南省衡陽市第八中學 肖中秋

解三角形主要通過對任意三角形邊角關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能利用它們解決一些簡單三角形度量問題及一些與測量和計算有關的實際問題.該部分是每年高考中的基本考點之一，大都運算量大、公式應用多，這就要求我們不僅具有較高的運算水平、較強的運算能力和良好的記憶能力，還應善于審題，采用相應的策略，優化過程.特別對于解三角形中的參數取值問題，備受命題者青睞，更是各類考試中的熱點題型.下面結合一道三角形中的參數取值范圍問題加以多解剖析.

【問題】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sinA+sinB+λsinAsinB=0，且a+b=2c，則實數λ的取值范圍是______.

分析：本題給出三角形的三邊之間的一個確定關系式a+b=2c，并結合兩角與參數之間所滿足的條件關系式sinA+sinB+λsinAsinB=0來確定參數的取值范圍，解決問題的關鍵就是如何巧妙利用關系式a+b=2c來確定角C的取值范圍，為進一步利用sinA+sinB+λsinAsinB=0來轉化參數λ，進而結合相關的知識來確定其取值范圍.采用解三角形中的常見的正弦定理與余弦定理，基本不等式及其不等式的性質，三角恒等變換以及數學模型等方法來處理，都可以收到不錯的解題效益.

解法1：由于a+b=2c，

由a+b=2c并結合正弦定理有sinA+sinB=2sinC，

則有4sin2C=（sinA+sinB）2=sin2A+sin2B+2sinAsinB≥2sinAsinB+2sinAsinB，可得sin2C≥sinAsinB，當且僅當sinA=sinB，即a=b時等號成立.

解法2：由于a+b=2c，

解法3：由a+b=2c并結合正弦定理有sinA+sinB=2sinC且角C為銳角，

解法5：由a+b=2c并結合正弦定理有sinA+sinB=2sinC且角C為銳角，

由sinA+sinB+λsinAsinB=0可得

解法6：如圖1，以A、B為焦點，且滿足a+b=2c的點C的軌跡方程是橢圓，其對應的標準方程為

由sinA+sinB+λsinAsinB=0并結合正弦定理可得

圖1

點評：在解決三角形問題時，比較常見的思維方法就是正弦定理與余弦定理，這也是解決此類問題的典型方法.而涉及三角形中的參數問題，關鍵是通過代數運算，將幾何模型代數化，利用正弦定理、余弦定理、三角相關公式等來轉化與解題，利用基本不等式法、三角函數的圖像與性質法、數學模型法等來確定取值范圍問題.

通過從多個不同角度來處理，巧妙把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發，多方面求解，真正體現對數學知識的融會貫通，充分展現知識的交匯與綜合，達到提升能力，拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.正如我國著名數學家蘇步青先生說過：“學習數學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.” F