巧用柯西不等式解決數學競賽試題的探究

☉安徽省固鎮縣第一中學 劉小樹

柯西不等式不僅形式優美，結構整齊，而且有重要的應用價值，特別在國際以及國內中學數學奧林匹克競賽中有著非常廣泛的運用.本文主要從巧用柯西不等式的結構靈活變化入手，例解分析最近幾年數學聯賽奧賽試題.柯西不等式是指下面定理：

定理：若a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn兩組實數，則有

一、代數式拆項配湊為定值

二、系數分離添加器

例2 （2014年第十屆中國北方數學奧林匹克邀請賽）設x，y，z，w∈R且x+2y+3z+4w=1，求f（x，y，z，w）=x2+y2+z2+w2+（x+y+z+w）2最小值.

解析：令S=f（x，y，z，w）=x2+y2+z2+w2+（x+y+z+w）2，先將系數分配好1=x+2y+3z+4w=2（x+y+z+w）-x+0·y+z+2w，

［（-1）2+02+12+22+22］·［x2+y2+z2+w2+（x+y+z+w）2］≥［-x+0·y+z+2w+2（x+y+z+w）］=1， ①

評注：系數分離添加器是柯西不等式的一個很好的應用方向，需要注意的是待定的系數必須使得等號能夠成立.

三、常數巧拆

例3（2013年第十二屆女子數學奧林匹克試題）已知正實數a1，a2，…，an，證明：存在正實數x1，x2，…，xn，滿足的正實數y1，y2，…，yn均有

這樣結論左邊

評注：常數的巧拆根據條件結論的關系，為了巧用結構而變化.

四、因式嵌套

在利用柯西不等式解決問題時需要根據題目已知條件和證明結論聯系起來，其中很重要一點就是嵌套因式，使得證明順利進行.

例4（2014年全國高中數學聯賽安徽預賽試題）已知正實數x，y，z，滿足x+y+z=1，求證≥0.

證明：因為x+y+z=1，將證明結論等價變形

根據柯西不等式結構思想，增加個因式就可以使用柯西不等式，同時發現嵌乘的這個式子又是個常數，即上式等號成立，即本題得證.

評注：因式嵌套（乘）很常見，其本質就是巧妙使得柯西不等式結構完整.

五、因式巧分

例5（2014年第十一屆中國東南地區數學奧林匹克試題）設n為大于1的整數，正實數x1，x2，…，xn滿足

證明：首先注意結論，左邊是求和，右邊是關于n的常數，因此需要將左邊進行結構變化因式分解為xi+1-xi+13=xi+1·（1-xi+12），然后再降次，由柯西不等式容易將求和轉化到乘積，為自然數的出現奠定基礎.得證.

評注：因式分解是為了柯西不等式結構的成立，對于復雜聯賽奧賽不等式結構要注意變形，其中因式分解是很重要變換形式之一，然而這種方法使用不是單一的.

六、局部巧用

例6 （2011年克羅地亞試題）設正實數a，b，c，滿足a+b+c=3.證明

局部先均值放縮，再運用柯西不等式

評注：有些不等式的證明需要對局部使用柯西不等式，從而簡化運算，對局部的控制達到對整體的控制.

一點感悟：柯西不等式是非常美的結構定理，為兩組數形式變換，次數的變化，使用時機、程度，等號成立盡心盡力，這都需要我們多角度多方面嘗試，才能推進命題形式結論的豐富.其中有些方法不一定是最佳的，有些方法可以互用.