尋找最初的模樣——幾何意義的運用

☉江蘇省蘇州市蘇苑高級中學 劉寒冰

眾所周知，數學問題的解決往往具備多樣性，既可以從代數視角出發，也可以從幾何角度入手.從中學數學本身來說，我們不難發現這些知識往往是難點考查所在：函數、向量、幾何、不等式，其中涉及圖形的往往是幾何視角，涉及變形的往往是代數視角，因此掌握合適的思考方向是第一準則.本文以函數最值為例，來探討從“思考—選擇—解決—反思”這一方法選擇的過程，并從中理解某些函數在最值解決的過程中如何回到最初的“模樣”.

問題1 |2x-1|+|x+2|＞a2+a 2+2對x∈R恒成立，求a的取值范圍.

分析：本題是重慶高考真題，對于恒成立問題的求解，學生自然清楚主要求解函數y=|2x-1|+|x+2|的最小值.筆者請學生做了一次嘗試，經過統計發現40位學生都是采用分類討論求解函數最值，即：令y=|2x-1|+|x+2|=利用函數圖像（此略）可得，當x=時，|2x-1|+|x+2|有最小值可以這么說，采用分類討論解決本題無可厚非，但是思路的單一性使其在遇到更難的問題時勢必陷入困惑.比如：

變式：求y=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|的最小值.

分析：此時我們不難發現學生陷入了沉思，其發現采用問題1分類討論的方式花費時間較多，這一方法已經不是解決本題的主要方式，因此需要思考更合適的解決方法.

優化：讓我們回到絕對值最值函數最初的模樣來思考.初中對于絕對值這一概念的定義是什么樣的？何為絕對值？|a-b|或|b-a|表示數軸上表示a的點與b的點的距離——這是絕對值幾何意義的體現.不妨從最基本的幾個絕對值函數最值思考，如：求y=|x-1|的最小值；求y=|x-1|+|x-2|的最小值；求y=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值等等.顯然，上述函數的最值從絕對值幾何意義的視角考慮，既簡單又清晰，無需分類討論即能找到最值，此處不再贅述.那么對于多個絕對值函數的最值，可以從這一原理思考，進而利用幾何意義獲得優解.

原理：（1）偶數個零點：y=|x-a|+|x-b|的最小值（a≤b），當且僅當x∈［a，b］時取到；函數y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|（n為偶數且a1≤a2≤…≤an）的最小值，當且僅當

（2）奇數個零點：y=|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值（a≤b≤c），當且僅當x=b時取到；函數y=|x-a1|+|x-a2|+…+|xan（|n為奇數且a1≤a2≤…≤an）的最小值，當且僅當x=時取到.

圖1

圖1

本質求解：利用絕對值幾何意義，我們不妨再回首問題1.考慮到|2x-1|的幾何意義不便直接表示，因此將其拆成兩部分，利用絕對值的幾何意義，即|x+2|，如圖1，分析一維數軸中距離的含義可知：當

反思：我們發現，學生對此類問題的常用解決手段是分類討論，但是借助分類討論往往是費時費力，而且不易正確求解.學生偏愛分類討論說明我們關于絕對值問題的解法教學是單一的，更多地關注了模式化的操作，而忽視了對概念本質的思考——絕對值最初的模樣，即對絕對值幾何意義的思考.

問題2 設x，y為實數，若4x2+y2=1，求2x+y的最大值.

分析：此題為二元最值問題，也是中學數學中重要的最值模型.學生對這樣的模型主要是利用代數方式中的判別式法或者三角換元求解，也可以從幾何意義的角度——直線的截距z=2x+y上思考，從而獲得求解.這一問題的幾何意義還是比較明顯的，過程不再贅述.

變式1：設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

變式3：若實數x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為______.

思考：變式1和問題2類似，但是其x和y具備了交叉混合項.此時直接的代數法三角換元顯然失效，該如何思考？如果從幾何意義的視角思考，方程4x2+y2+xy=1顯然代表的是封閉曲線，而且顯然不是圓的方程，那么對于學生來說，封閉的曲線只能從橢圓上去思考，因此利用換元可以將該曲線旋轉回到標準形態，即令

1，表示焦點在y軸的橢圓里對曲線的思考體現了對知識理解的正確性，其截距的幾何意義也是水到渠成.

將問題條件和結論換位思考，我們得到了變式2，對這一結論的代數化方向思考顯然不太容易，問題的解決回到了最初的模樣，即幾何意義的思考.將 x2+y2+y看成兩部分，第一部分幾何意義顯然是曲線上的點到原點的距離，第二部分是曲線上的點到x軸的距離，因此兩段距離和的最小值是本題的幾何本質.給出簡析：（1）當y≥0時，設P（x，y），PP0⊥x，所以P（0x，0），|PO|=，所以原式=（|PO|+|PP0|）min，作O關于x+2y=2的對稱點當Q，P，P三點共線垂直于x軸時，有最小值；（2）當y=0

0時，+y=2；（3）當y＜0時，+y=|PO|-|PP0|＞|P0O|-|P0P|＞|P0O|-|MP0|=2.綜上所述，（

對于變式3，我們如何從幾何意義的視角思考最值？顯然二元變量x，y滿足關系式x2+y2≤1，其幾何意義非常的明顯，即點（x，y）在以x2+y2=1為邊界的圓及其內部，而可看成是點（x，y）到直線l1：2x+y-2=0，l2：x+3y-6=0的距離.因此從解析幾何的角度我們可以得到如下的解法.如圖2，直線l1、l2的斜率分別為-2、-，兩直線間的夾角記為.令點P（x，y）是x2+y2≤1所表示區域上的一點，PN⊥l1，PM⊥l2，則F=|2x+y-2|+|6-x-，當P在l1與單位圓的交點處時有最小值3.

圖2

反思：從幾何意義的角度，讓原本復雜的分類代數討論變得簡捷，因此對不少類型的函數最值，教師要引導學生從幾何意義的視角去思考，特別是非解答題，這樣的方式是有意義和高效的.

總之，數學問題的解決是雙重性的，既要關注萬能的代數方式（其解決方式較為全面、系統，但是稍顯煩瑣），也要注重具備直觀感受的幾何方式（快捷、方便，注重思維）.在函數最值領域，若能靈活地思考所求目標函數的幾何意義，對于問題的解決顯然是比較高效的.通過對幾何意義的學習，我們回到了數學概念最真的本質，在茫茫題海訓練中，我們回到了問題解決最初的模樣——數學知識的幾何意義，這不正是學習的重點和難點嗎？