多角度切入，妙方法處理——一道三角形模擬題的多解

☉貴州省興義市陽光書院 陳福盛

解三角形主要通過對任意三角形邊角關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能利用它們解決一些簡單三角形度量問題及一些與測量和計算有關的實際問題.該部分是每年高考中的基本考點之一，大都運算量大、公式應用多，這就要求我們不僅要具有較高的運算水平、較強的運算能力和較大的記憶能力，還應善于審題，采用相應的策略，優化過程.特別是解三角形中的參數取值問題，不僅備受命題者青睞，更是各類考試中的熱點題型.下面結合一道三角形中的長度求解問題加以多解剖析.

題目 （2018年高考衡水金卷壓軸卷（二）·16）在△ABC中，D是邊BC上的一點，AD=2，BD=2DC，tan∠BAD=

本題給出三角形中的相關邊的關系與對應角的正切值，如何巧妙利用題目中的關系是解決問題的關鍵，可以借助正切的幾何意義，以坐標系方式介入；可以借助解三角形的相關定理，以正弦定理方式介入；可以借助三角形的面積法思維來處理；還可以通過初中平面幾何知識來處理與轉化.從不同角度的思維來切入，都可以收到不錯的解題效益.

角度1：以點A為坐標原點，結合條件建立相應的平面直角坐標系，利用兩相關角的正切值確定對應的直線的斜率，構造直線BC的參數方程，通過代入法確定tanθ的值，進而確定直線BC的方程，與直線AB聯立確定點B的坐標，從而確定AB的長度.

解法1：如圖1，以A為坐標原點，AD所在直線為x軸，垂直于AD的直線為y軸建立平面直角坐標系，則D（2，0），直線AB，AC的方程分別為

圖1

所以直線BC的方程為y=3（x-2），

角度2：設出∠BAD=α，∠DAC=β，結合同角三角函數基本關系式以及兩角和的余弦公式確定∠BAC=α+β=45°，結合正弦定理加以轉化與應用得到而確定△ABC為等腰直角三角形，且∠C=90°，再結合直角三角形的性質來轉化與求解即可.

解法2：如圖2，設∠BAD=α，∠DAC=β.

圖2

所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=，可得∠BAC=α+β=45°，

角度3：設出∠BAD=α，∠DAC=β，結合同角三角函數基本關系式以及兩角和的正弦公式得到sin（α+β）=，通過過點D作DE∥AB交AC于點E，利用相似三角形的性質得到AB=3ED，并結合正弦定理的轉化求得ED的長度，進而確定AB的長度即可.

解法3：如圖3，設∠BAD=α，∠DAC=β.

圖3

所以

角度4：設出∠BAD=α，∠DAC=β，結合同角三角函數基本關系式以及兩角和的正弦公式確定∠BAC=α+β=45°，結合三角形的性質可知，S△ABC=3S△ADC，進而得以求解AB的長度.

解法4：如圖4，設∠BAD=α，∠DAC=β.

圖4

而根據三角形的性質可知，S△ABC=3S△ADC，

角度5：通過作輔助線把一般三角形問題轉化為直角三角形問題，設出CF=x，DF=y，借助相似三角形的性質、正切函數的定義建立相關的方程組，通過求解方程來確定參數的值，進而利用勾股定理來確定AB的長度即可.

解法5：如圖5，過點B作BE⊥AD交其延長線于點E，過點C作CF⊥AD交于點F，

設CF=x，DF=y，則由BD=2DC，可知BE=2x，DE=2y，

圖5

通過從多個不同角度來處理，巧妙把該題的底蘊充分挖掘出來，多角度出發，多方面求解，真正體現對數學知識的融會貫通，充分展現知識的交匯與綜合，達到提升能力，拓展應用的目的.進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能.H