平面向量基本定理常用題型歸納

☉湖北省秭歸縣第一中學 梅 杰 何 堯

平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且僅有一對實數λ1，λ2使得a=λ1e1+λ2e2.

平面向量基本定理是正交分解和坐標表示的基礎，它為“數”和“形”搭起了橋梁，在向量知識體系中處于核心地位.筆者對近十年高考有關平面向量基本定理題目作了系統研究，認為大致分為以下題型：

一、基本題型隨處可見

1.直接利用λ1，λ2唯一性求解

2.構建三角形，利用正余弦定理求解

圖1

解：過C作CD∥OB交OA的延長線于D，

二、共線問題常考常新

1.感受平面內三點共線的結論在解題中簡明快捷

常用結論：如圖2，點O是直線l外一點，點A，B是直線l上任意兩點，求證：直線上任意一點P，存在實數t，使得關于基底{OA，OB}的分析式為（1-t）·.

圖2

因為B，P，N三點共線，

圖3

2.感受向量數形二重性在證明平面幾何中獨特魅力

圖4

三、區域問題漸成熱點

由平面內三點共線定理拓展可以研究區域問題，為解決線性規劃問題畫出可行域提供理論上的依據和操作上的便利，也可以解決向量中類似于點所在位置問題.

定理：設O，A，B為平面內不共線的三個定點，動點C滿足O—→C=x（x，y∈R），記直線OA，OB，AB分別為lOA，lOB，lAB，平面被分成如圖5的7個部分（Ⅰ—Ⅶ），得出結論表1，表2.

圖5

表1

表2

在近十年高考題中，區域問題常以下面兩種題型出現.

1.固定動點所在的位置，判斷系數滿足條件

例5 如圖6，平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（不包括邊界），若O—→P=a，且點P落在第Ⅲ部分，則實數a，b滿足（ ）.

A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0

答案：B.

例6 如圖7，OM∥AB，點P在射線OM，射線OB及AB的延長線圍成的陰影部分內（不含邊界）運動，且O—→P=，則x的取值范圍是______，當x=-時，y的取值范圍是______.

圖6

圖7

圖8

2.固定系數滿足的條件，判斷動點所在位置

圖9

答案：D.

因為在第一象限，λ＞0，μ＞0，