組合公式的偏導(dǎo)數(shù)證明

武國(guó)寧　孫娜　劉建軍　陳小民

摘要：本文借助于多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，從分析的角度給出了組合公式的一個(gè)證明。從分析的角度來證明組合問題是一個(gè)巧妙的想法，對(duì)一些問題的求解提供了一種新穎的思路。

關(guān)鍵詞：組合公式；偏導(dǎo)數(shù)

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）27-0193-02

一、引言

在大學(xué)數(shù)學(xué)課程如概率論，微積分和線性代數(shù)等的講授過程中，我們常遇到以下組合計(jì)數(shù)[1][2]：nn n-n n …n-n -…-n n 。這里nn 表示：從n個(gè)不同元素里取n 個(gè)元素不同組合的個(gè)數(shù)。該組合計(jì)數(shù)可以看作將帶有標(biāo)號(hào)的n個(gè)球分為k組，第一組有n 個(gè)球，第二組有n 個(gè)球，…第k組有n 個(gè)球不同分法的個(gè)數(shù)。例如含有k個(gè)變量n次多項(xiàng)式展開式為：

x +x +…+x = nn n-n n …n-n -…-n n x x …x （1）

又如，k個(gè)函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)求法為：

f f …f = nn n-n n …n-n -…-n n

f f …f （2）

我們都熟悉以下等式：

nn n-n n …n-n -…-n n = （3）

這個(gè)等式是如何計(jì)算出來的？

常規(guī)的證明方法為排列計(jì)數(shù)法[1]。簡(jiǎn)述如下：

我們將帶有標(biāo)號(hào)的n個(gè)球分為k組，第一組有n 個(gè)球，第二組有n 個(gè)球，…第k組有n 個(gè)球。假設(shè)分法有x種。即設(shè)x=nn n-n n …n-n -…-n n ，對(duì)于一個(gè)給定的分組，如果考慮標(biāo)號(hào)，不同的標(biāo)號(hào)如果認(rèn)為不同的排列，那么對(duì)于給定的一個(gè)分組，由于不同標(biāo)號(hào)的排列總共有n ！n ！…n ！個(gè)新排列。而帶有標(biāo)號(hào)的n個(gè)球的全排列為n！。這樣我們有：

xn ！n ！…n ！=n！ （4）

所以有（3）式成立。

本文我們借助偏導(dǎo)數(shù)的方法來證明公式（3）。

二、證明

對(duì)公式（1）的兩邊求n階混合偏導(dǎo)數(shù)，有

x +x +…+x

= nn n-n n …n-n -…-n n x x …x （5）

其中m ≥0，i=1，2，…k且m +m +…+m =n。

等式左邊為，

x +x +…+x =n！ （6）

等式的右邊，除了m =n ，i=1，2，…k的那一項(xiàng)外，其他項(xiàng)的偏導(dǎo)數(shù)為零。所以有：

nn n-n n …n-n -…-n n x x …x

= nm n-m m …n-m -…-m m

x x …x

=nm n-m m …n-m -…-m m m ！m ！…m ！（7）

由公式（6），（7），所以有：

nm n-m m …n-m -…-m m =

證畢。

特別地，若k=2，則：

x +x = nlx x （5）

n！=nmm！n-m！ （6）

所以有：

nm= （7）

三、結(jié)論

組合公式nm n-m m …n-m -…-m m = 是我們熟悉的一個(gè)公式，常規(guī)的思路為借助于排列計(jì)數(shù)的方法來證明。本文我們借助于求偏導(dǎo)數(shù)來證明該公式，這是一種用分析方法證明組合公式的嘗試。該方法較為新穎，為我們解決組合問題提供了一種新的思路。

四、致謝

感謝中國(guó)石油大學(xué)北京教改項(xiàng)目支持。

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘開萊.初等概率論附隨機(jī)過程[M].北京：人民教育出版社，1979.

[2]茆詩(shī)松.概率論基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，1997.