給力數學實驗 發展學生理性思維

倪志敏

摘 要：同一數學實驗，借“問”促進學生衍生深淺不同的“理性”認識；不同數學實驗，探“原”促進學生生發厚薄不同的“理性”思考；給力數學實驗，整“合”促進學生萌生表質不同的“理性”批判。

關鍵詞：數學實驗；思維；理性；比較

數學家歐拉認為：“數學這門科學需要觀察，也需要實驗?！睌祵W實驗作為一種數學探索活動，筆者粗淺地認為，它有時是蘊含“理性思考”的動手操作，或是融入“猜想驗證”的紙筆演算，抑或是兩者兼有之。但無論選取哪一類數學實驗方式，都是為了獲得某種數學理論，檢驗某個數學猜想，或解決某類數學問題。在這些活動中，我們都應該讓學生不僅動手，也要動腦，“促進學生思維的發展和理性精神的養成”（鄭毓信）。

一、同一數學實驗，借“問”促進學生衍生深淺不同的“理性”認識

在小學階段，數學同一知識體系內的知識編排都體現了“螺旋上升”這一特點。如在一年級與六年級，教材中都安排了“認識圓柱”這一知識點。無獨有偶，在校內公開課《有趣的拼搭》和《認識圓柱和圓錐》這兩節課中都安排了同一數學實驗——“滾一滾”。

【案例點擊1】：《有趣的拼搭》

師：我們用小黑板作為滑面，將各種形狀的積木拿好，先放在滑梯上方，然后松手讓它們滑下來。看看你能發現什么？

（學生分小組進行數學實驗，滾一滾這些積木。）

生1：球、圓柱體滾下來了，而且滾得很快。

生2：正方體和長方體的積木不容易滾。

（教師將圓柱的底面放在滑梯上。）

師：現在圓柱體怎么不滾了呢？

生：底面是平的，放在滑梯上不容易滾下去。

師：圓柱體上有平面也有曲面。把平面放在滑梯上，它就不容易滾；把曲面放在滑梯上，它就滾得快。

【案例點擊2】：《認識圓柱和圓錐》

出示一端粗一端細的粉筆、一個圓柱。

（學生分組進行數學實驗，滾一滾這些物體。）

師：你們發現了什么？

生：圓柱沿直線滾，粉筆滾時會打彎。

師：那么，粉筆是圓柱嗎？

生：粉筆不是圓柱。因為它的上下底面雖然都是圓，但不完全相同。一頭粗一頭細。

師（強調）：圓柱從上到下一樣粗。

【比較思考】——問到深處理更濃

案例1中的“問”抓住圓柱有時滾得快，有時卻不易滾的實驗現象，讓學生認識平面與曲面的不同特征，直指其數學本質，即面的特征。有了一年級學生對圓柱特征的初步認識，因此，六年級學生通常對圓柱“上、下兩個底面是完全相同的兩個圓”“有一個曲面”這兩點比較關注，而對圓柱“從上到下一樣粗”容易疏忽。案例2中的“問”抓住圓柱和粉筆都有曲面，但滾出來的形狀不同，直指圓柱實質也是一個直柱體，從而溝通各種直柱體的內在聯系，這種認知結構對以后的數學學習會產生積極作用。

在相同的數學實驗“滾一滾”中，兩位教者沒有滿足于只讓學生發現“滾”的結果上的差異，而是“問”到底，講究精深，使問題具有挑戰性，直指數學的本質，讓學生能夠想得深，讓相同的數學實驗衍生出深淺不同的理性認識。

二、不同數學實驗，探“原”促進學生生發厚薄不同的“理性”思考

《數學新課程標準》指出：有效的數學學習過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應引導學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動，從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略。在校內公開課中，一位教師教學《3的倍數特征》時，借助計數器進行分層實驗，層次分明，分為五步：第一步，在百數表里圈出3的倍數，初步看到3的倍數分散在表的各行各列；第二步，通過檢驗，3的倍數的特征不表現在數的各位上；第三步，通過提供不同的數珠，分組實驗比較，發現如果每個數所用數珠的個數是3的倍數，那這個數才是3的倍數；第四步，把數珠個數轉化為各位上的數的和，初步發現3的倍數的特征；第五步，通過反例證實3的倍數的特征。

評課中，多數教師認為，五步教學活動是連貫的，步步深入，逐漸接近數學的本質內容；五步教學活動也是嚴謹的，不僅研究了正例，也研究了反例，便于學生利用結論進行判斷；五步教學活動更是符合學生認知規律的，借助形象直觀，及時進行抽象與歸納，能夠有效地突破難點。

倍數和因數這一概念源于整除。整除就是“分一分”。3的倍數就是這個數是否可以3個3個地分，最后沒有余數?；谶@樣的思考，筆者對于《3的倍數的特征》的教學進行了一些嘗試：

1. 分一分小棒。

（1）出示：3根、6根、9根小棒，讓學生分一分后得出結論：3、6、9是3的倍數。

再出示：3捆（10根為一捆）、6捆、9捆小棒，讓學生分一分。3捆6根、6捆9根等，讓學生接著分一分。

（2）再出示：3大捆（100根為一捆）、6大捆、9大捆小棒圖，讓學生分一分。再讓學生分一分3大捆9捆6根小棒圖。

師：你們發現了什么？（一個數各個數位上的數是3的倍數，這個數就是3的倍數）

2. 畫一畫小棒圖。

（1） 出示1大捆2捆3根小棒圖（圖1）。

師：這是多少？（123）分一分，這個數是否是3的倍數？

1大捆中的99根小棒是3的倍數，因此百位還剩1根小棒；2捆可以分為2個一捆，每捆中的9根也是3的倍數，因此2捆中各剩下1根小棒，也就是十位還剩2根小棒。現在要判斷123是否是3的倍數，只要看哪部分？

生：看余下的根數，即1+2+3。

（2）出示2大捆3捆9根小棒圖，讓學生畫一畫。

3. 分一分數。

出示2142、3475，讓學生分組研究這兩個數是否是3的倍數（圖2）。

師：由此，判斷一個數是不是3的倍數，需要通過整個數除以3來判斷嗎？

生：只要看各位上的數除以3以后余下的數的和是不是3的倍數就可以了。

師：那個位上的數除以3余下的數與原來數位上的數有什么關系？（它們是相同的）

師（歸納）：一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。

【比較思考】——兩相權衡取其理

首都師范大學數學科學學院方運加老師曾說：講授數學知識應強調通過邏輯鏈條以及由淺入深的認知路徑，將數學新知識揭示給學生，這樣才符合數學學習的特點，才能發揮數學知識的智慧作用。筆者認為，數學實驗也應如此。與教材中安排的數珠實驗相比，這樣實驗，不僅教學“知其然”，而且教學“知其所以然”，具有一定的難度，它挑戰了學生的思維，也將學生的思維由“薄”變“厚”。這種從根本處探尋，尋到思維原點的實驗，無疑給學生打開了一扇窗，讓學生不僅看到了現象，更理解了本質。

三、給力數學實驗，整“合”促進學生萌生表質不同的“理性”批判

1. 想象豐富數學實驗

全國著名特級教師劉松在第23屆“現代與經典”教學活動中執教《玩轉三角形》后，介紹設計這節課的原因——源自一節實踐活動課：學生將長方形硬紙板的長粘在小棒上，然后不停地旋轉，教師原本希望孩子能說出“我能看見以長方形的長為軸，旋轉一周，能形成一個圓柱”，豈料，學生竟說“老師，我什么也看不見”。

成人無須實驗就能得到的結論，為什么孩子百般疑惑也得不到？因為成人對于這一結論的獲得是借助的想象，而孩子只能憑借觀察，觀察實驗的結果，真的是“看見的，并不一定是真的”。因此，筆者認為，與其動手實驗，倒不如讓學生掩卷閉眼進行想象，進行長時間的思考后，還可以借助多媒體技術進行直觀演示或觀察生活中的旋轉門圖片進行驗證。

2. 推理論證支撐數學實驗

教學《平行線》時，對于“平行線間的垂直線段長度相等”這一知識點的教學，多數教師是這樣做的：先讓學生畫出幾條平行線間的垂直線段后，再讓學生用尺子量一量這幾條垂直線段的長度，通過實驗驗證得出結論——兩條平行線間的垂直線段長度相等。

對此，筆者認為，用數學實驗的方法量“平行線間的垂直線段的長度相等”，因學生畫圖不規范或尺子的問題，一定會存在誤差，并且平行線間的垂直線段有無數條，又豈是一把尺子能量得完的？筆者認為，這里的實驗驗證只是“淺嘗輒止”，缺少推理論證的支撐。教者可在學生量出幾條垂直線段的長度后，再引導學生發現任何兩條垂直線段和這兩條平行線圍成的都是一個長方形。只要我們確認“長方形的對邊是相等的”，我們就能同時確認“兩條平行線間的所有垂直線段的長度都相等”。

【比較思考】——舍“動”得“靜”方顯理

鄭毓信教授在《為學生思維發展而教》的報告中指出：數學教學應該是“認真地想，靜靜地聽，輕輕地說”，數學課堂應該是思維的課堂、安靜的課堂、開放的課堂。數學實驗這一探索活動，引導學生進入“做數學”的境界，激發學生動手和探索的興趣。但它并不是一把解決問題的萬能鑰匙。因為，并不是每節數學課的教學內容都可以用實驗的形式進行組織的。我們除了可以合理地選擇課題，還需要與其他思維方式整合運用。包含實驗的數學課堂，往往是熱鬧的“動手”，但我們必須要將單純地“動手”向“動腦”發展，用“靜靜地思”架設它們之間的橋梁，用想象、論證推理或豐富或支撐起數學實驗，方能顯現數學的理性之美。

鄭毓信教授在報告中說：數學的核心是理性精神。無論課程教學怎么改革，數學教育都要牢牢抓住數學的基本問題。數學教學中，教師要“揀精剔肥”，科學地選擇數學實驗，合理地安排數學實驗，有效地進行數學實驗，方能促進學生的思維發展和理性精神的養成。