例談數(shù)學(xué)課堂里的“低起點”與“高收益”
——“5.3用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式”課堂實錄與評析

江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)第一中學(xué) 崔海祥

本課例是蘇州工業(yè)園區(qū)教發(fā)中心組織的一節(jié)研討交流課，所使用的教材是“蘇科版《義務(wù)教育課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊第5章第3節(jié)《用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式》”。2017年10月，我校張艷老師開設(shè)了《用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式》一課，課后，區(qū)教師發(fā)展中心數(shù)學(xué)教研員王曉鋒老師對這節(jié)課進行了點評，現(xiàn)對這節(jié)課的課堂教學(xué)過程簡錄如下，并根據(jù)筆者聽課與評課的體會進行評析，與大家交流。

片段一、知識回顧，鋪墊準備

師：前面我們學(xué)習(xí)了用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達式，請大家回憶：一次函數(shù)和反比例函數(shù)的一般形式是什么？各有幾個未知系數(shù)？

【評析】教師的教學(xué)是以學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)展開教學(xué)的，大家一致認為張老師的引入是非常合理的，通過回顧一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識，強調(diào)函數(shù)表達式中的未知系數(shù)問題，為今天的課題埋下了伏筆！學(xué)生踴躍回答問題的良好表現(xiàn)為該節(jié)課的順利完成開了好頭。

片段二、“低起點”帶來全員參與

問題1：已知二次函數(shù)y＝ax2的圖象經(jīng)過點(-2,8）,求a的值。

師：該函數(shù)表達式有幾個未知系數(shù)？

生1：只有一個未知系數(shù)a。

(教師板書，學(xué)生在下面練習(xí))

問題2：已知二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象經(jīng)過點(-2，8)和(-1，5)，求a、c的值。

師：該函數(shù)表達式有幾個未知系數(shù)？

生2：有兩個未知系數(shù)a和c。

(教師板書，學(xué)生在下面練習(xí))

問題3：已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(-3，6)、(-2，-1)和(0，-3)，求這個二次函數(shù)的表達式。

師：該函數(shù)表達式有幾個未知系數(shù)？

生3：有三個未知系數(shù)a、b、c。

(教師板書，學(xué)生在下面練習(xí))

【評析】在評課時，大家一致認為張老師的教學(xué)起點較低，非常符合學(xué)生的學(xué)習(xí)情感。教育家蘇霍姆林斯基說過：“情感如同肥沃的土壤，知識的種子就播種在這片土壤上，種子會萌發(fā)幼芽，孩子邊認識邊干得越多，激動情感體驗得越深，他就想知道更多，他的求知渴望、鉆研精神、學(xué)習(xí)勁頭也就越強烈。”是的，張老師在問題1中設(shè)置了只含有一個未知系數(shù)的問題，雖然很簡單，但這樣的設(shè)計使得班級里幾乎所有的同學(xué)都“動”了起來，問題2是在問題1的基礎(chǔ)上進行了一個提高，設(shè)計了兩個未知系數(shù)，學(xué)生只需要解一個二元一次方程組，感覺非常簡單，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情得到了調(diào)動。問題3張老師設(shè)計得更為合理，雖然表面上看是一個三元一次方程組問題，但是這里給出了一個點（0，-3），也就是縱軸上的點，完全回避了三元一次方程組的解答，張老師非常清楚這節(jié)課的教學(xué)重點是“如何在給定條件下求二次函數(shù)表達式”，而不是“解三元一次方程組”，何況“解三元一次方程組”在課標上屬于選學(xué)內(nèi)容，因此在我們的平時教學(xué)中，首先明白“教什么”是非常重要的。

問題4：已知拋物線的頂點為(-1，-3)，且過點(0，-5)，求拋物線的表達式。

生4：由于頂點已知，可以假設(shè)二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)＝a(x+1)2-3（a≠0）。

師：此時的表達式中還有幾個未知系數(shù)？

生5：還有一個系數(shù)a未知。

師：請說一下解題過程。(學(xué)生說教師板書)

問題5：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點，且當(dāng)x＝1時，y有最小值-1， 求這個二次函數(shù)的表達式。

(學(xué)生思考，有想法的同學(xué)陸續(xù)舉手)

師：我發(fā)現(xiàn)還有幾位同學(xué)對這道題還沒有想法，現(xiàn)在我找位還沒有想法的同學(xué)，請生6回答這個問題。

(此時大部分學(xué)生看著生6，生6非常緊張，畢竟自己不會)

師：不用緊張，我們首先來一起審題，請大家一起和生6將這道題齊聲朗讀一遍。

師：（追問）對于題目中的“當(dāng)x＝1時，y有最小值-1”，你想起了我們前面學(xué)的二次函數(shù)的哪個性質(zhì)？

生6：二次函數(shù)的最值。

師：（啟發(fā)）那是不是就相當(dāng)于題目中已知了頂點的坐標為(1，-1)？

生6：是的，這樣就可以假設(shè)頂點式了。

師：非常好，大家給生6點掌聲。

【評析】張老師在上課時非常關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，當(dāng)發(fā)現(xiàn)有學(xué)生不理解時，她并不是一味地讓會做這道題的學(xué)生回答，而是采取了師生互助，鍛煉學(xué)生克服困難的意志，從而建立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，體驗獲得成功的樂趣！從這個意義上講，張老師在課堂教學(xué)時做到了“課堂教學(xué)以學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式。”

片段三、啟發(fā)式教學(xué)帶來“高收益”

問題6：如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(-1,0)，(3，0)，(1，-4)，求此二次函數(shù)的關(guān)系式。

師：如何求這個二次函數(shù)的表達式？(學(xué)生在下面思考，教師課堂巡視)

生7：用一般式。

師：很好，有沒有不同于生7的想法？

生8：我用的是頂點式，假設(shè)該函數(shù)表達式為y ＝ a(x-1)2-4。

師：你的依據(jù)是什么？

生8：因為給的點(-1,0)，(3，0)是兩個對稱點(函數(shù)值都為0)，根據(jù)對稱性得到該拋物線的對稱軸是直線x=1，所以頂點的橫坐標是1，所以(1，-4）這個點就是頂點。

師：非常好，生8同學(xué)利用“頂點本質(zhì)是拋物線與對稱軸的交點”這一性質(zhì)發(fā)現(xiàn)題目中的點(1，-4)就是頂點，從而利用頂點式來求解。(老師此時留白，讓學(xué)生在下面回味這樣的解法)

師：還有不一樣的解法嗎？

生9：我用的是交點式，可以假設(shè)函數(shù)解析式為y ＝ a(x+1)(x-3)。

三、引入生活的概念應(yīng)用

師：大家比較一下，這樣的三個方法中，哪個方法更好？各有什么優(yōu)缺點？(學(xué)生在下面各抒己見)

【評析】該題是思維含量非常豐富的一道題，有學(xué)生用的是一般式，例如生7，張老師在上課時首先用語言表揚了這些同學(xué)的方法是對的，并沒有花費時間讓這些同學(xué)“展示”解題的具體過程，也巧妙回避了學(xué)生可能遇到的問題——“三元一次方程租的解法”，然后張老師繼續(xù)追問：有沒有不一樣的解法？學(xué)生的思維也被帶動了起來，生8用的是頂點式，因為前面剛說過頂點式，并且該生從點（-1,0），（3,0）發(fā)現(xiàn)對稱軸是直線x=1，所以得到頂點的橫坐標是1，從而（1，-4）就是頂點，此時學(xué)生得到精神上的滿足。張老師繼續(xù)追問，又有學(xué)生發(fā)現(xiàn)給的點（-1,0），（3，0）是與x軸的交點，因此可用交點式，此時整個課堂師生之間充滿了共鳴，這樣的共鳴是通過教師一步步引導(dǎo)而來的，教師真正做到了把時間交給學(xué)生，讓學(xué)生成了課堂里的學(xué)習(xí)主體，教師是引導(dǎo)者、組織者，教師的教學(xué)真正做到了面向全體學(xué)生，注重啟發(fā)式和因材施教。

本課例給筆者最大的感受是我們教師在平時的教學(xué)過程中首先應(yīng)該明白“教什么”，也就是要明確教學(xué)目標和教學(xué)重點，例如，在以往的聽課過程中，這一課時會有老師為了“解三元一次方程組”而花費很多的時間，偏離了本節(jié)課的教學(xué)目標；其次，為了達到教學(xué)目標，教師應(yīng)該“怎么教”，也就是教學(xué)手段和教學(xué)方法。例如，在本課例中，張老師的課堂教學(xué)做到了“低起點”，從一個未知系數(shù)開始入手，面向全體學(xué)生，然后慢慢深入，從一般式過渡到頂點式，再談到交點式。這樣的課堂教學(xué)又確實是 “高收益”的，讓學(xué)有余力的同學(xué)享受了數(shù)學(xué)所帶給他們的精神樂趣，做到了因材施教。