構造一元二次方程解題探究

安徽省阜陽市第十九中學 許明坤

在很多數學問題中，涉及的內容看似和一元二次方程無關，我們解題時如果僅僅局限于這道問題涉及的知識，總是很難找到解題的突破口，有時甚至無從下手，但經過仔細分析，我們總能與一元二次方程的知識聯系起來，此時可利用題中的條件將問題轉化為一元二次方程來解決，本文就構造一元二次方程解題的各種類型進行總結分析。

一、構造方程解求值問題

思路分析：從表面上看這道題與一元二次方程的聯系不明顯，采用“反客為主”的觀點觀察已知條件，會發現若將常數 視為未知數，可知 是方程的一個根。

解：顯然x＝1 也是該方程的一個根。

要點總結：這道題的解法新穎，利用了逆向思維的數學思想，方法非常巧妙。

二、構造一元二次方程解方程組

思路分析：該方程組有三個未知數而只有兩個方程，又是二次的，實質是一個不定方程問題。觀察方程組的特征中有x+y，xy。由此可把x，y視為關于t的一元二次方程t2-（x-y）t+xy=0的兩根，利用判別式非負即可解決。

可把x，y視為關于t的一元二次方程t2-8t+（z2+16）=0的兩根。

由Δ=(-8）2-4（z2+16）≥0得-4z2≤0，∴z2≤0。

又z2≥0，∴z=0，此時x＝y＝4。

要點總結：方程組看似和一元二次方程沒有關系，從條件中我們可以利用一元二次方程為解題找到突破口。

三、構造一元二次方程求最值

例3 已知x，y，z均為非負實數且x+y+z=1。求（z-x）（z-y）的最值。

思路分析：根據非負實數這個條件及所給等式與一元二次方程相結合即可解題。

要點總結：本例題給出的是求最值，易將求最小值弄丟。僅用根的判別式不能完成解答，與一元二次函數的最值相結合，是一道很好的綜合題。

四、構造一元二次方程證明不等式

例4 已知a，b，c為實數，求證：（a-b）2≥（c-2a）（2b-c）。

思路分析：由要證的不等式的特點可聯想一元二次方程根的判別式，由此可用構造方程解決。

要點總結：利用構造方程后，易丟掉分類討論，要注意思維的嚴密性。

五、利用構造一元二次方程證明幾何問題

例5 如圖：過正方形ABCD的頂點C任作一條直線與AB，AD的延長線分別相交于點P，Q。證明：

∴AP，AQ是方程x2-（AP+AQ） x+a（AP+AQ）＝0的兩個實根。

由根的判別式非負可得：（AP+AQ）2-a（AP+AQ）≥0，

即 AP+AQ≥4a，

要點總結：用構造方程法還可以解決存在性問題及幾何等式等，限于篇幅在此不做贅述。

運用構造法解題，首先要認真分析題目，仔細觀察，展開聯想，從中發現可用構造法因素；其次，借助與之相關的知識構造所求問題的具體形式；最后，解出所構造的問題，但必須回到原來的問題上。在學習過程中加強知識的綜合運用，注意思維的多樣性，把握解題方法的靈活性，提高數學素養和思維品質，從而達到培養創新能力的目標。