算中學方法，畫中悟本質
——解直角三角形復習課教學有感

江蘇省太倉市第一中學 朱 胤

一、課堂再現

1．呈現基本圖形，凝練常規方法

活動1：如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC。

圖1

圖2

生1：過C作CD⊥AB，如圖2，在Rt△ACD中，可知CD=2，在Rt△BCD中，可知

變式：在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=8，求BC。

生2：同上題，仍過C作CD⊥AB，把△ABC分割成兩個直角三角形，

師：借助特殊角，如30°、45°構造直角三角形，利用銳角三角函數的知識解決問題，此時一般有兩種情況：一是已知邊長可直接求其他邊長，二是已知某條線段長，可利用方程的思想求解。

【設計意圖：復習的真正目的是總結和歸納。教師在課堂中與學生及時對比問題的異同、總結歸納相關問題的解決方法，既是記憶的過程，又是提高、分析的過程，也是學生自我反思的過程。對問題及時總結歸納，可有效避免“題海戰術”，扎實學生基礎，提高學生的學習效率】

2．動手實踐操作，畫出知識生長點

活動2：如圖3，已知AB=8，∠A=30°，在射線AP上取點C，構造△ABC，再補充一個條件，求出△ABC中未知邊的長。

（1）條件一：∠ABC=45°

王維山也鐘情于“青”和“白”，根據吳曉龍的統計，“白達91次，青達62次”〔2〕，遠超芭蕉。王維詩歌中，還呈現出一個特點，即“青(或綠、或碧)”與“白”的色彩組合。茲舉四例說明，如：

圖3

（2）條件二：∠ABC=15°

生4：如圖4，過B作BD⊥AP于點D，在Rt△ABD中，AB=8，∠A=30°，則BD=CD=4，

圖4

師：增加條件二后，∠ACB=135°，它的鄰補角為45°，因此我們可以借助鄰補角構造出直角三角形，從而求解問題。所以對于特殊角，我們可以從30°、45°、60°擴充到150°、135°、120°。

（3）條件三：BC=6

圖5

生5：如圖5，過C作CD⊥AB于D，設CD為x，則AD為再在Rt△BCD中利用勾股定理可得最終算出△ABC的各邊長，但是算得太煩了，還沒算出答案！

生6：如圖6，過B作BD⊥AP于D，在Rt△ABD中，AB=8， ∠A=30°， 則在Rt△BCD中利用勾股定理可得CD=，最終算得

圖6

生7：我畫的圖和他們都不一樣……

（激烈的交流討論中）

師： 當BC=3，4，5時，AC的長又為多少呢？

通過畫圖激起學生的求知欲，開啟了學生的思維，讓學生的探究成為可能，思維從“畫”開始螺旋上升直至揭示問題本質。在學生探究中，教師充分引導學生正確地“畫”，大膽地“想”，合理地“思”，在批判與質疑中，在師生、生生的互動中產生教與學的合力，讓學生“畫”出思維的生長過程。

3．從特殊到一般，畫出問題的本質

活動3：如圖3，已知AB=a，∠A=30°，在射線AP上取點C，若BC長為b（a，b＞0），求AC的長。

【設計意圖：數學的價值不在模仿而在創新。課堂上教師對問題深入挖掘，一層一層地追問，挖掘出了隱藏在問題背后的數學知識、數學規律、數學思想方法、數學的本質，幫助學生不斷建構自己的知識網絡，不斷提升自己的能力】

4．及時鞏固拓展，增加思維的靈動

活 動4： 如 圖7， 已 知 △ABC中，∠A=30°，∠C=15°，AB=10，你能求出哪些量？

生9：可以求出BC的長，過C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D，如圖8，設CD長為x，

圖7

圖8

生10：能求出△ABC的面積。

師：△ABC的周長能求嗎？（激烈的討論交流中）

【設計意圖：根據心理學的有關實驗表明：練習可以及時反饋學生掌握知識、形成技能等各種信息，從而更好地調整教學活動。開放性練習的設置，能配合不同能力水平學生的“最近發展區”，有效促進不同層次學生的發展】

二、課后思考

1．算中凝練方法，提高學生解題能力

面對一個問題，一個題目，教師要幫助學生找到一個切實可行的解題方法，在平時的教學中應把主要時間放在“通法的教學”和應用上，以提高學生學習的主動性、積極性、自覺性和創造性。通過方程、轉換、類比、遷移等數學思想方法提煉總結出一般的解題思路或者解題突破口，提高學生解題的速度和正確率，讓學生獲得成功的經驗，增強學習數學的自信心。

2．動手實踐，讓學生發現問題的本質

課堂教學中運用“畫”這一操作，讓學生在“做數學”的過程中發現問題，增強學生的自主學習意識，培養了學生的探究精神，在豐富學生對數學的情感體驗的同時，更是在不知不覺中觸及了數學問題的本質，培養了學生思維的深刻性，提升學生的創新能力。

3．課堂教學關注知識的“生長過程”

復習課的教學不是對全章知識的重復羅列和例題的簡單堆砌，導致學生在數學學習中只能對知識進行“死”應用，學生對于沒有遇到過的問題就束手無策了。因此教師在平時的教學中要重視“活”知識的發現和這個發現過程中思維能力的培養和提高，把教學的過程設計成學生“再發現，再發明、再創造”的過程，讓學生在動手操作、猜想、發現、驗證、歸納等實踐活動中碰撞出智慧的火花，引導學生掌握研究問題的一般方法。

4．基本圖形培養學生的思維能力

在幾何中的表現就是分割成一個個的基本圖形，教師在平常教學中，要有意識地進行基本圖形的教學。本節課中兩個直角三角形組成的圖形就是銳角三角函數中的一個基本圖形，課上教師從開始就拋出了基本圖形并概括出了一般的解題方法，讓每一位同學把應知應會的知識牢記于心，并在系列變式中讓學生辨析基本圖形，不斷完善相關解法，在培養學生的識圖能力的同時，達到舉一反三、觸類旁通的效果。

5．本質教學做好初高中內容銜接

初中數學屬于基礎教育，在知識、能力、學習方式等方面與高中存在很大差異，因此教師應以負責和發展的態度，在初高中銜接的知識點上適當拓展，有意點撥，給學生的認識過程留下足夠的空間和時間。

數學很重要的幾個因素就是邏輯與直覺、分析與創造、一般性與特殊性，正是它們的綜合交錯作用才構成數學的豐富內涵。教學時通過學生實踐操作，讓學生獲得情感體驗，從簡到難，從一般到特殊，經歷問題發現、解決的全過程，在這個過程中，有學生的模仿，有學生的探究，有學生的困惑，有學生的發現總結，正是我們追求的課堂教學。