排列組合在古典概型中的應用

江蘇省淮安市楚州中學 王 蓓

排列組合與古典概型是高中數學的基礎知識，是各類測試及高考的必考內容，難度或大或小，占有較高分值。部分學生對基礎知識掌握不牢固，或對題目創設的情景理解不深入，面對題目要么束手無策，要么計算錯誤，白白失分，因此，在教學實踐中，教師應立足具體題目加強訓練，幫助學生掌握解答排列組合與古典概型相關題目技巧。

一、在選擇題中的應用

選擇題是古典概型常見題目類型，通常融入排列組合知識，對學生分析問題的能力要求較高，尤其部分題目會創設一種新的情景，學生感覺較為陌生，不知道如何分析與計算，錯選其他選項，因此，教學實踐中，教師應多講解一些具有代表性的、新穎的題目，引導學生進行分析解答，逐漸提升學生應用排列組合知識解答古典概型題目的能力。

例1 如某個n位十進制數a1a2a3…an，各位上的數字符合“小大小大……小大”的規律，即a1＜a2＞a3＜a4＞a5＜a6……，則該數為“波浪數”，從1，2，3，4，5組成的不重復的五位數adcde中，任意選取一個數，則這個數為波浪數的概率是（ ）

分析：該題目提出的“波浪數”學生比 較陌生，要想正確解答該題目，學生應認真分析“波浪數”的定義，充分理解波浪數。分析波浪數的形式可知，b、d兩個數較大，如設b=5，則d≥3，如d=4，則a、c、e為1、2、3的任意排列均符合題意，即 。如d=3，則c、e為任意排列，此時a=4，共有 種。同理，如設b=4，根據波浪數的對稱性可知，會產生+個波浪數，因此，任意選取一個數為波浪數的概率正確答案為A。

點評：在講解該題目時，部分學生對題干理解不深入，不知道如何解答。部分學生考慮不全面，而錯選了C，因此，應用排列組合解答古典概型相關題目時，應明確分類標準，考慮所有可能出現的情況。

二、在填空題中的應用

應用排列組合解答古典概型題目時，如為選擇題可能在不會計算時猜對結果，那么填空題則不會那么幸運，只能靠認真計算得出正確結果，相對來說難度進一步提升，因此，教師應通過分析一些典型試題，使學生掌握解答填空題的思路與技巧。

例2 已知數列{an}滿足關系式an=an-1+n-1（n≥2，n∈N）。一顆正方體骰子質地均勻，六個面分別標注為1，2，3，4，5，6。連續投三次，得到點數記作a，b，c，則滿足{a，b，c}={a1，a2，a3}（1≤ai≤6）的概率是______。

分析：該題目難度較大，融合了數列、排列組合、概率知識，綜合性較強，不少學生運用所學知識的能力較差，完全不知如何下手。事實上，只要冷靜分析題干條件不難得出結果，即假設a1=t，則根據數列表達式，可知a2=1+t，a3=3+t，根據ai的取值范圍可知1≤t≤3，因此，a1，a2，a3有三種選擇方法：3，4，6、2，3，5、1，2，4，因此滿足題意的概率

點評：該題目難度較大，教學實踐中教師應引導學生從給出的數列入手尋找突破口，抽絲剝繭，明確可能出現的情景，利用排列組合知識進行分類解答，不遺漏任何一種情景。

三、在解答題中的應用

高中數學中當古典概型試題以解答題的形式出現時，難度較大，一般由多個小問構成，對學生的綜合素質要求較高，即能夠從給出的情景中抽象出數學模型，而后利用所學的排列組合知識進行求解。教學實踐中，教師應帶領學生一起分析試題，找到解題的突破口。

例3 一個袋子裝有大小相同的紅球、白球、黑球，從中任取出一球為黑球的概率為任意取出兩個球，至少一個球為白球的概率為（1）如袋中共有10個球，那么白球的個數為？（2）證明：任意取出兩個球，至少得到1個白球的概率不大于指出袋中哪種球的個數最少。

分析：第（1）問較為簡單，可設白球的個數為x，則根據題意可知，至少得到一個白球的概率為可得x=5，即袋中有5個白球。第（2）問難度較大，解答時假設袋中共有n個球，黑球y個，根據題意可知因此，2y＜n，2y≤n-1，因此，從袋中任取兩球，至少有1個黑球的概率綜上可知，白球個數多于黑球，白球個數超過n，紅球個數不足因此，紅球個數最少。

點評：成功解答該題目的關鍵在于認真審題，明確創設的不同情景，分析各個量之間的關系，尤其在解答第（2）問時應鼓勵學生敢于假設，充分利用已知條件，利用排列組合知識巧妙進行縮放、分析，最終得出結果。

排列組合與古典概型知識聯系密切，測試中常將兩者結合起來出題，難度較大，學生得分較低，因此，教學實踐中教師應認真分析排列組合與古典概型相關題目類型，并針對不同題型列舉典型例題，包括選擇題、填空題、綜合題，與學生一起分析、解答，使學生感受應用排列組合知識解答古典概型題目的過程，加深學生的理解與認識，掌握古典概型相關題目的解題技巧與方法。