圓錐曲線的一個雙定點問題

浙江省寧波市北侖中學 (315800)

吳文堯

圖1

圖2

證明：如圖2，設點A關于x軸的對稱點為A0，則當且僅當A0,B,N三點共線時，直線NA,NB的傾斜角互補，因為A,B在雙曲線C上,所以可設A(asecθ,btanθ),B(asecα,btanα),則A0(asecθ,

則A和A0關于x軸對稱.

圖3

定理3 若過定點M(m,0)(其中m≠0)的動直線交拋物線C:y2=2px(p>0)于A,B不同兩點，則在x軸上存在另一定點N(n,0)，使得直線NA,NB的傾斜角互補，其中m+n=0.

-2pt1),直線AB的方程為:x-(t1+t2)y+2pt1t2=0,直線A0B的方程為:x-(-t1+t2)y-2pt1t2=0,由于M(m,0)在直線AB上，所以m=-2pt1t2,由于N(n,0)在直線AB上，所以n=2pt1t2,所以m+n=0成立.

推論1 設拋物線C:y2=2px(p>0),M(m,0),N(-m,0)是x軸上的兩個定點,B為拋物線C上的任意一點,直線BM,BN分別交拋物線于另一點A,A0,則A和A0關于x軸對稱.

推論2 設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,M為拋物線的準線與x軸的交點,過點M的動直線與拋物線C相交于A,B兩點，直線BF與拋物線的另一交點為A0,則A和A0關于x軸對稱.