例談關(guān)于幾何直觀核心素養(yǎng)的三個教學(xué)關(guān)鍵問題

☉北京教育學(xué)院朝陽分院 張 東

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將幾何直觀作為了一個核心概念，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》又把直觀想象作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素之一，幾何直觀已成為數(shù)學(xué)教學(xué)研究的熱點問題.那么為什么要重視幾何直觀？幾何直觀的內(nèi)涵是什么？課堂教學(xué)中怎樣培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀？本文結(jié)合具體實例，對關(guān)于幾何直觀核心素養(yǎng)培養(yǎng)的這三個教學(xué)關(guān)鍵問題淺談自己的思考與實踐.

一、為什么要重視幾何直觀

希爾伯特在《直觀幾何》一書中說到“算術(shù)記號是寫下來的圖形，幾何圖形是畫下來的公式.圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述所研究的問題，可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果.”幾何直觀能將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，能幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的整個過程中都發(fā)揮著重要作用.例如，在正方形網(wǎng)格中，如果將小正方形面積（或邊長）看作1，那么學(xué)生借助圖形，從圖1中就容易猜想出，從圖2中可以猜想出1+3+5+…+2n-1=n2，從圖3中猜想出13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=

圖1

圖2

圖3

史寧中教授曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)結(jié)論是看出來的，不是證出來的”.在上述案例中，三個數(shù)學(xué)等式都是依靠將數(shù)字圖形化，然后借助圖形的幾何特征，進(jìn)而迅速猜想出數(shù)列和，體現(xiàn)了幾何直觀在發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題中的作用.

二、什么是幾何直觀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對幾何直觀內(nèi)涵的表述是：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.”孔凡哲教授認(rèn)為“嚴(yán)格意義上說，這是針對幾何直觀的作用的解釋性說明”.許多專家學(xué)者都曾對幾何直觀的內(nèi)涵提出過自己的理解.徐利治教授認(rèn)為幾何直觀是指借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知；錢佩玲教授認(rèn)為幾何直觀是一種能對數(shù)學(xué)對象及數(shù)學(xué)對象的關(guān)系，用幾何圖形和幾何語言去表達(dá)、思考和解決問題的能力.綜合以上觀點，我們認(rèn)為幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對數(shù)學(xué)的研究對象（即空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力.

需要注意的是，幾何直觀是借助經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系的直接感知，因此借助幾何直觀“看”出來的結(jié)論具有或然性，其正確性還需要通過邏輯推理的嚴(yán)格證明.

三、如何培養(yǎng)幾何直觀

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出了幾何直觀的四個具體表現(xiàn)：（1）利用圖形描述問題；（2）利用圖形理解問題；（3）利用圖形探索和解決問題；（4）構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型.從幾何直觀的四個表現(xiàn)，我們可以發(fā)現(xiàn)幾何直觀的載體是圖形，因此自主的用圖意識、扎實的畫圖能力、敏捷的識圖能力、靈活的以形助數(shù)能力是幾何直觀的必備能力與品格.根據(jù)以上論述，結(jié)合教學(xué)實踐經(jīng)驗，筆者認(rèn)為可以從以下幾個方面培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀.

（一）培養(yǎng)學(xué)生的主動用圖意識

幾何直觀要求學(xué)生不僅是見圖而思，還包括把借圖說話、借圖表達(dá)、借圖探究變成一種自覺的思維意識.怎么培養(yǎng)這種意識呢？我認(rèn)為教師應(yīng)關(guān)注以下三個問題：

1.讓學(xué)生感受圖形的力量.這主要是教師要讓學(xué)生充分體驗用圖分析問題、記憶結(jié)果等方面的簡捷性，從而對圖形的力量產(chǎn)生一種價值認(rèn)同.例如，教師可以讓學(xué)生嘗試思考如下問題：（1）四支球隊，每兩隊賽一場，總共要賽多少場？（2）求解

當(dāng)學(xué)生面對這樣的問題束手無策時，教師提醒學(xué)生借助圖形描述問題、分析問題，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)借助圖4后，問題變得直觀、清晰、簡明，然后教師適時讓學(xué)生反思：圖形在問題分析中起到了怎樣的作用？這樣學(xué)生就深刻體會到圖形的力量.

圖4

2.讓學(xué)生養(yǎng)成用圖形表達(dá)知識的習(xí)慣.數(shù)學(xué)中的許多概念、公式、定理往往都與圖形有關(guān)，學(xué)生在理解這些知識時往往只關(guān)注文字語言的理解，缺乏結(jié)合圖形對概念的內(nèi)涵、定理的條件與結(jié)論的理解，這會造成學(xué)生理解上的片面與機械.因此學(xué)生在描述知識時，如果該知識的本質(zhì)與圖形有關(guān)，教師可以要求學(xué)生將知識圖形化，結(jié)合具體圖形描述知識.此外，有研究表明，學(xué)生不能完成幾何證明的原因之一是對標(biāo)準(zhǔn)圖形的思維定式.如果在教學(xué)中教師總是使用標(biāo)準(zhǔn)圖形表示知識，那么學(xué)生在碰到非標(biāo)準(zhǔn)圖形時就會無所適從.因此，教師在讓學(xué)生用圖形表述知識時，可適當(dāng)增加非標(biāo)準(zhǔn)圖形.

3.不忽視作圖探究的學(xué)習(xí)機會.很多教師認(rèn)為課堂教學(xué)中讓學(xué)生進(jìn)行作圖探究費時間、沒價值，所以不重視讓學(xué)生在課堂教學(xué)中通過作圖進(jìn)行探究.事實上，這種做法使學(xué)生喪失了借助圖形理解知識本質(zhì)的機會，也喪失了使學(xué)生體驗圖形直觀在探究中的作用，這不利于學(xué)生形成主動用圖的意識.例如，在探究三角形全等條件時，借助尺規(guī)讓學(xué)生作出滿足條件的三角形后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)有些條件下（如SSS，SAS，ASA，AAS）作出的每一個三角形的形狀、大小都相同，而有些條件下（如SSA）卻不一定相同.通過這樣的探究過程，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)了三角形全等的判定條件，更重要的是對三角形全等條件的本質(zhì)有了深刻的感悟，理解了三角形全等條件本質(zhì)上就是從組成圖形的基本要素出發(fā)，確定一個三角形形狀、大小的條件，為學(xué)生日后探索解三角形留下了生長的萌芽.此外，這樣的探究方式也能使學(xué)生感悟到尺規(guī)作圖是幾何探究的一種基本方法，對學(xué)生形成主動用圖探索問題的意識具有促進(jìn)作用.

（二）錘煉學(xué)生扎實的畫圖技能

扎實的畫圖技能是幾何直觀的重要基石，不能正確、靈活地畫圖，就談不上用圖來描述問題和分析問題.對于如何培養(yǎng)學(xué)生的畫圖技能，本文重點想談強化畫函數(shù)圖像與尺規(guī)作圖教學(xué)兩個方面的問題.

首先，函數(shù)在初、高中教學(xué)的地位已無需贅述，而研究函數(shù)的基本方法就是函數(shù)圖像，同時能否正確、靈活地畫出函數(shù)圖像，也是反映學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)、對應(yīng)變化思想理解的一面鏡子.以二次函數(shù)圖像為例，教學(xué)中教師應(yīng)使學(xué)生具備畫下面四類函數(shù)圖像的能力.

圖5

其中精確圖是指學(xué)生用畫函數(shù)圖像的通法——描點法畫出的圖像；示意圖是指學(xué)生根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出的簡易圖；部分圖是指學(xué)生要能根據(jù)自變量的取值范圍的不同，畫出其對應(yīng)的函數(shù)圖像；動態(tài)圖是指當(dāng)函數(shù)解析式中的系數(shù)為變量時，隨著系數(shù)的變化而對應(yīng)的一組圖像.這些圖像是學(xué)生簡單、形象地發(fā)現(xiàn)、描述、分析、解決函數(shù)問題的重要工具與手段，是發(fā)展學(xué)生幾何直觀的重要載體與途徑.

其次，學(xué)生的畫圖能力還包括學(xué)生要具備一定的尺規(guī)作圖能力.在上文已經(jīng)談過了尺規(guī)作圖的重要意義，因此在教學(xué)中教師要重視學(xué)生基本的尺規(guī)作圖能力的培養(yǎng).教師可以將基本尺規(guī)作圖與定理應(yīng)用相融合，適度增加學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)原理與基本作圖進(jìn)行尺規(guī)作圖的活動，增強學(xué)生的作圖能力.例如，在學(xué)生學(xué)習(xí)完圓周角定理后，教師可以設(shè)計如下問題：

如圖6，已知△ABC與直線l，在直線l上求作一點P，使∠P=∠C，并說明你的作圖依據(jù).

圖6

圖7

通過此問題，一方面有助于學(xué)生理解圓周角定理在證明角相等時的作用及應(yīng)用條件，另一方面能發(fā)展學(xué)生尺規(guī)作圖的技能及應(yīng)用幾何直觀創(chuàng)造性解決問題的能力.

（三）提高學(xué)生敏銳的識圖能力

幾何直觀在幾何學(xué)習(xí)中具有重要作用，尤其是識圖能力的高低對于學(xué)生解決幾何問題具有重要意義.在幾何教學(xué)中，可以從以下兩個方面增強學(xué)生的識圖能力.

1.加強基本圖形的教學(xué).所謂基本圖形包括兩類，一是指表征幾何對象、幾何概念、幾何定理、幾何公式的圖形，例如表征三角形中位線定理的圖形；另一類是指蘊含一定位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的基本圖形的組合模型，例如一線三等角模型.在日常教學(xué)中，教師一方面要注重讓學(xué)生將知識圖形化（具體見上文），另一方面要讓學(xué)生學(xué)會利用視覺技能，從復(fù)雜圖形中分解出基本幾何圖形，這對解決幾何問題非常關(guān)鍵.例如下面的問題：

已知：如圖8，四邊形ABCD是平行四邊形，I和J分別是BC和AD的中點，P和Q分別是DB與AI和CJ的交點.

證明：BP=PQ=QD.

圖9

在圖8中，包含著許多基本圖形（如圖9），學(xué)生解決此問題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知條件和聯(lián)系相關(guān)知識，并依靠直覺從原始圖形中發(fā)現(xiàn)這些基本圖形，再對這些幾何圖形進(jìn)行邏輯推理.因此，應(yīng)重視基本圖形的積累，并在復(fù)雜圖形中挖掘基本圖形在幾何問題解決中的作用.

2.注重引導(dǎo)學(xué)生用圖形變化的眼光分析圖形.平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)是圖形構(gòu)造的重要方式，許多隱藏的圖形與原圖之間往往具有圖形變換的內(nèi)在關(guān)系，因此如果學(xué)生能用圖形變化的眼光分析圖形，其識圖能力一定會進(jìn)一步提高.例如下面的問題.

如圖10，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=45°，求證：EF=BE+FD.

圖10

圖11

如圖11，構(gòu)造△ABG，證明△ABG △AFD，則問題迎刃而解，所以構(gòu)造出△ABG是問題解決的關(guān)鍵.這時可以思考：通過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱所得的三角形與原三角形全等.由于構(gòu)造全等的目的之一是將DF化歸為EB的延長線，且AB可看作由AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，故考慮將△AFD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到需要構(gòu)造全等的三角形.

3.通過問題變式讓學(xué)生直觀把握圖形的運動變化過程.學(xué)會用運動變化思想分析問題是一種核心的數(shù)學(xué)思維能力，同時這也是數(shù)學(xué)幾何直觀的重要表現(xiàn).教學(xué)中，教師可通過問題變式，使問題由靜變動，從而培養(yǎng)學(xué)生用動態(tài)的眼光分析問題的能力.例如可以將問題從點與點問題，演變?yōu)辄c與線（點與直線上一動點）的問題，再演變?yōu)榫€與線（兩點分別為兩直線上的動點）問題.這種從維度上進(jìn)行拓展的問題，一方面，可以讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)問題是怎樣由靜止發(fā)展為運動的演變過程；另一方面，學(xué)生能通過畫圖呈現(xiàn)出圖形的整個運動變化過程，進(jìn)而直觀地發(fā)現(xiàn)變化過程中的臨界或最值位置.這種問題變式，對增強學(xué)生借助圖形發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力具有重要意義，是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的極好載體.

（四）培養(yǎng)學(xué)生靈活的以形助數(shù)能力

借助圖形理解和分析代數(shù)問題是幾何直觀的重要表現(xiàn)，代數(shù)中的很多概念都具有數(shù)形雙重含義，許多公式與方法都可以從圖形中發(fā)現(xiàn)和解釋，正如黎曼所說“每一個數(shù)學(xué)公式背后都有一個反映其本質(zhì)的幾何模型”.因此，學(xué)習(xí)代數(shù)內(nèi)容的幾何意義，借助幾何圖形理解代數(shù)問題，用幾何方法解決代數(shù)問題等，都是培養(yǎng)幾何直觀的重要方式.

例如，在學(xué)習(xí)完全平方公式時，可以借助圖12讓學(xué)生體會完全平方公式的幾何意義，理解為什么（a+b）2≠a2+b2；在學(xué)習(xí)無理數(shù)時，可以讓學(xué)生準(zhǔn)備兩個一樣的面積為4的正方形紙片，將其中一個正方形紙片通過折疊得到面積為2的正方形，再將另外一個正方形紙片通過折疊得到面積為1的正方形，從而體會的存在性，并直觀發(fā)現(xiàn)小于2但大于1；在學(xué)習(xí)配方法解一元二次方程時，可以借助圖13，從幾何角度讓學(xué)生體會配成完全平方的目的，以及在配方過程中，為什么要給等式兩邊同時加一次項系數(shù)一半的平方，而不是其他量等問題.

圖12

圖13

總之，幾何直觀是在學(xué)生整個學(xué)習(xí)過程中都具有重要影響的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)和發(fā)展幾何直觀是數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo)之一.而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，可以在圖形與幾何、數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐等各個領(lǐng)域中適時滲透.本文對關(guān)于幾何直觀的三個關(guān)鍵問題的思考，希望能對一線教師了解幾何直觀的價值、把握幾何直觀的本質(zhì)、探索幾何直觀的培養(yǎng)有所啟發(fā).