讀懂學生思維，促進思維生長*

☉浙江省湖州市南潯區教育教學研究和培訓中心 褚水林

數學是思維的體操，培養學生數學思維能力是數學教學核心目標之一.數學教學不僅關注知識和方法的學習，更要關注學生思維能力的培養，讓學生在學習過程中學會思維、學會學習、學會求知，從而提高學生的數學素養.但從日常的教學調研、訪談分析，部分教師在教學中存在著“重結果、輕過程”“重數量、輕質量”“重知識、輕思維”的現象，究其原因，教師重在關注自身的教，關注學生的學還不夠，缺少研究讀懂學生意識，缺少學生學習心理的核心知識，缺少思維能力培養的策略和方法.學生是學習的主體，教育出發點、歸宿點都應體現在學生身上.只有了解學生、研究學生，讀懂學生思維，走進學生心靈，我們的教學才更有效，將培養學生思維能力真正落實在日常教學之中.怎樣才能讀懂學生思維，促進學生思維生長呢？

一、營造平等、民主的課堂氛圍——讓學生敢想敢說

要讀懂學生思維，前提條件是讓學生充分暴露思維過程.要暴露學生的思維過程，需要營造和諧、安全、平等、民主的課堂氛圍.心理學家羅杰斯曾指出，一個人的創造力只有在其感覺到“心理安全”和“心理自由”的條件下才能獲得最大限度的表現和發展.首先，建立和諧的師生關系.當師生關系、生生關系融洽時，學生會感受到課堂的心理安全感，學生會主動投入到數學學習中，會大膽交流、樂于發表自己的見解.因此，教師需要進一步轉變角色，要從內心深處關愛學生，面向全體，要以組織者、引領者、促進者的角色組織教學，建立良好、平等的師生關系.其二，給予學生思考時間與空間.課堂是師生交流、生生交流、師生共同成長的園地，思維碰撞的場所.當課堂定位為發展學生生命成長的高度的時候，教師需要創設數學活動，讓學生真正經歷概念的形成過程、定理的發現過程、結論的應用過程、方法的提煉過程.在活動過程中，向學生提供自主、寬敞思考的時間和空間，讓學生有機會有時間想，而不是教師急于告知，也不是經常打斷學生思路.教師要創設平臺，給予學生自主表達思維過程的機會，讓學生有機會表達和交流.

二、讀懂學生思維的精彩——讓學生展示相異構想

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學教學是數學活動的教學，是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程.走進課堂，走進變化.真實的數學課堂不可能完全是一種預設執行和再現，更多的是充滿“變數”的“生成”，更多的是來自學生的精彩.由于學生學習基礎、學習風格、學習環境的差異，每個個體學習方式并不相同，教師要真正走進學生，了解學生的學習反映，了解學生的思維狀態.怎樣讀懂學生的精彩思維呢？首先，創設載體，讓學生充分展示精彩思維過程.設計元問題，由元問題生長新問題，學生在發現問題、提出問題、分析問題、解決問題過程中又產生新問題，由問題引發學生積極思維，由不斷遞進問題提高學生思維層次，碰撞學生思維火花.其二，教師要做一個觀察者、聆聽者、發現者、點撥者，善于捕捉學生的思維過程，用欣賞的眼光讀懂學生獨到的觀點、不同的想法、精彩的解法.其三，教師善于組織學生自主學習、合作探究、交流展示，讓學生能耐心聆聽其他學生不同的思考方法，開拓自身思維.

案例1：八年級“一次函數與幾何結合復習”教學片段.

這是由簡單圖像出發的開放性問題，由于起點低、思維寬，結論、策略均開放，學生能從不同視角發現問題、提出問題，從而分析問題、解決問題.下面呈現部分學生提出的具有價值的問題.

生1：取線段AB的中點M，求中點M的坐標，還可求直線OM的解析式.

生2：求經過點P（0，10）且平行于直線AB的直線的解析式.

生3：在x軸上是否存在一點P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

生4：在坐標軸上否存在一點P，使△ABP是等腰三角形？

生5：在AB上方是否存在點P，使△ABP是等腰直角三角形？

生6：在直線AB上是否存在點Q，使S△BOQ=S△AOB？

生7：在直線AB外是否存在一點Q，使S△ABQ=S△AOB？

生8：在直線AB外存在一點Q，使S△ABQ=S△AOB，這樣的點有無數多個，這些點形成什么圖形？能否求出解析式？

……

學生討論非常激烈，思維火花一浪激起一浪，最后教師組織學生逐一解決生成的每一類問題，在解決問題過程中又展現精彩的思維.

通過設計元問題生長新問題的方式，由簡單到復雜，學生參與思維的動力、活力不斷激活，參與思維含量不斷增加.不同學生都呈現了思維精彩，學生設計問題時，教師還可引導其從點、線、面進行分類歸納.從點上突破，設計求線段中點的坐標；從線上突破，設計兩線的位置關系問題；從面上突破，設計特殊三角形（等腰三角形、等腰直角三角形）存在性問題、三角形面積問題等.這里不僅呈現問題多樣性、獨特的想法，而且思維靈活性、層次性、深刻性得到較好體現.學生思維多樣性，也促進教師思維能力提升，真正體現師生共同成長.

三、讀懂學生的思維偏差——教師適時恰當指導

初中生由于受年齡、身心發展的制約，思維還未成熟，對數學問題本質的認識和理解還是比較膚淺的、表面的、不全面的.教師要善待和包容學生差錯，研究學生思維特點，讀懂學生思維的缺陷、偏差，析其原因，并針對性加以策略和方法的指導，提高學生的思維能力與思維品質.

1.思維無序化

“思維無序化”是指學生思考和解決數學問題方向不明、思路混亂的無序狀態.知識不全面，儲存知識零碎缺乏關聯，思維方法手段單一而出現思維混亂的無序狀態，主要表現在解決數學問題過程中，分析過程缺乏有序思考方法，問題解答過程中或推理論證不清晰或問題結果考慮不全或因果關系錯位等.

案例2：圖形規律問題你怎么想.

為了了解學生解答數學問題的思維過程，選取了一組圖形規律問題，由本區基礎較好的S校九年級兩個平行班學生進行解答.

原題呈現：如圖1～3，下列圖形是將正三角形按一定規律排列，則第3個圖形中所有正三角形的個數為___，請寫出思考過程；第5個圖形中所有正三角形的個數為___，請寫出思考過程；第n個圖形中所有正三角形的個數為___，請寫出思考過程.

圖1

圖2

圖3

測試結果出乎意料，第①問正確率為81.8%，第②問正確率只有32.3%，第③問正確率僅有3%.

為了弄清問題產生的根源，筆者對學生寫出的思考過程進行梳理歸納，選取有代表性的思考過程.

生1：圖1中正三角形的個數為5，圖2由3個圖1和1個等邊三角形組成，所以3×5+1=16（個），圖3由3個圖2與1個等邊三角形組成，所以16×3+1=49（個）.

生2：圖1中有4個，圖2中有1+31+32=13（個），圖3中有1+31+32+33=40（個），第5個圖形中有1+31+32+33+34+35=364（個），第n個圖形中有1+31+32+33+34+35+…+3n（個）.

生3：由具體數三角形尋找答案，圖1中正三角形的個數為5，圖2中為12+4+1=17，圖3中為36+3+4+1=44.

生4：圖1中有4+1=5（個），圖2中有12+4+1=17（個），圖3中有36+12+4+1=53（個），第4個圖形中有108+36+12+4+1=161（個），第5個圖形中有324+108+36+12+4+1=485（個）.

生5：圖2由3個圖1和中間、外邊兩個等邊三角形組成，圖3由3個圖2和中間、外邊兩個等邊三角形組成，以此類推，所以圖1中有3+2=5（個），圖2中有3×5+2=17（個），圖3中有17×3+2=53（個），第4個圖形中有53×3+2=161（個），第5個圖形中有161×3+2=485（個）.

生6：圖1：2×31-1；圖2：2×32-1；圖3：2×33-1；第4個圖形：2×34-1；第5個圖形：2×35-1；第n個圖形：2×3n-1.

顯然，解答不正確者，不在于知識欠缺，而在于思維處于無序或亂序狀態.觀察時順序混亂而漏解，漏掉中間的正三角形或外圍的大正三角形.解題策略上未能從聯系的、整體的視角思考，往往從單個圖形思考，且計數的方法比較原始.顯然，給出正確解答的學生在解決本問題時思維活動處于有序狀態，能發現圖形生長規律，從而順利解決問題.

著名的蘇聯心理學家克魯捷茨基認為，有序思維是指思考和解決數學問題時遵循一定的順序、按照特定的線索和步驟去探索的一種思維方式.這種思維方式有利于解決較復雜的開放性問題，避免了盲目地純憑經驗解題的弊端.怎樣引導學生從無序逐步走向有序呢？首先，引導學生觀察有目的、有順序，或由內到外、從左到右，或從局部到整體，或從整體到局部；其次，思考解決問題的策略從特殊到一般，或從一般到特殊，探尋基本規律和方法或基本步驟.如對于本案例，可以引導學生梳理歸納解決數字、圖形規律問題的基本步驟：分析、嘗試、歸納、驗證.①觀察分析：與序號聯系；②推理嘗試：把握整體和局部；③猜想歸納：寫出關系式；④驗證規律：取多個值驗證.

2.思維表面化

“思維表面化”是指學生思考問題時容易被問題表象所束縛而未抓住本質的思維狀態.主要表現在滿足于對結論、公式、定理的簡單套用，對問題的膚淺認識，缺乏站在數學思想方法角度深度思考.這樣的思維，不利于理解數學問題本質，不利于核心思想方法領悟，同時制約了知識的遷移和能力的發展.

案例3：為什么會列出這樣的方程呢？

原題呈現：機械廠車間40名工人生產螺釘和螺母，每人每天平均生產螺釘600個或螺母300個，1個螺釘要配2個螺母，為了使每天的產品剛好配套，應該分配多少名工人生產螺釘，多少名工人生產螺母？

教師出示題目后，先讓學生獨立思考，生1板演：

解：設生產螺釘的有x名工人，根據題意得：

600x=2×300（40-x）.

解得x=20.

答：生產螺訂的有20名工人，生產螺母的有20名工人.

做完后生1看了看解題過程，似乎感覺不太對，但一時找不出原因，帶著疑惑回到自己的座位.

教師先統計多少同學像生1這樣列方程，結果超過一半同學是這樣列的，出乎教師預料.此時，教師先讓學生代入檢驗，生產螺訂12000個，生產螺母6000個，這與1個螺訂要配2個螺母相矛盾，學生紛紛議論.

生2：我認為應該是2×600x=300（40-x），螺母的數量要多，螺釘的數量要少.

師：說得對，螺母的數量多，螺釘的數量少.

教師在黑板上又舉例說明：

螺釘 螺母

1 2

2 4

3 6

……

師：從螺釘與螺母數量的比例關系知道，螺母的數量是螺釘數量的2倍.所以2×600x=300（40-x）.

評析：學生為什么會列出方程600x=2×300（40-x）呢？一是學生沒有理解1個螺訂要配2個螺母的真正含義，僅是從1個螺訂要配2個螺母字面意義列出數量關系誤認為等量關系，缺乏數學表征意識；二是沒有理解列方程解應用問題的本質，事實上列方程的關鍵是尋找等量關系，就是同一數量用兩種不同的形式表示而已.如方程右邊表示螺母的數量，方程左邊用另一種形式表示螺母的數量，用螺釘數量表示螺母的數量，從1個螺釘要配2個螺母轉化為螺母的數量是螺釘數量的2倍.

從思維表面化逐步走向思維本質化，首先讓學生真正經歷觀察、分析、比較、歸納、抽象思維活動，理解數學概念、公式、法則、定理、方法的本質；其次，引導學生正確表征數學問題.維果茨基認為：“教師在向學生提供有效認知任務的同時，還應該提供合理的學習支架，使學生可以借助支架參與問題解決并獲得意義上的理解，從而確保教學獲得最大效益.”數學問題表征是數學問題解決的核心和關鍵，要理解問題本質，教師在日常教學中應加強對學生數學語言（文字、符號、圖形、表格等）表達能力的培養，促進學生能對問題進行多元表征；最后，注重變式，從一題多解、一題多變、多題歸一等途徑，發現變中不變的規律，從而從思想方法層面剖析問題的本質.

3.思維單一化

“思維單一化”是指學生由于思維惰性、思維定式而習慣于孤立地、靜止地看問題，滿足于求問題的單一解，不能從整體上把握數學對象，缺乏用運動、發展、聯系的觀點全面認識事物.這樣的思維，不利于學生對問題本質的深刻理解，不利于思維靈活性、深刻性的培養.

案例4：（浙教版七年級（下）課本第57頁作業題）要在一條河上架一座橋（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直），請提供一種設計方案，使A地到B地的路程最短.請說明理由.

學生課堂練習中出現的三種畫法（如圖4～6）：針對三種畫法的出現，及時與學生進行交流.

圖4

圖6

生1：根據“兩點之間線段最短”連接AB可得.

師：條件“橋與河岸垂直”你怎么理解？（生1沉默不語）

生2：根據條件“橋與河岸垂直”，過點B作河岸的垂線交河岸于點C、D，再根據“兩點之間線段最短”連接可得.

師：請你測量A地到B地的路程并與圖6的路程作比較.（通過測量后，學生認識到圖6的路程更短）師：本題中什么條件使我們解題感到困難？生：河的存在.

師：由于河的存在使我們解題發生了困難，橋址的兩個端點未定，但兩端的距離是定值（河寬）.那么我們可以通過平移使河岸重合，把A向上平移河的寬度至A1，根據“兩點之間線段最短”，連接可得A1B，從而問題容易解決，見圖7.

圖7

對于本題，學生利用“兩點之間線段最短”的知識來解決問題的思維方向是正確的，但對于條件“橋與河岸垂直”的處理，大部分學生感到束手無策.究其原因，是由于學生的思維單一化，缺乏用運動、發展、變化的眼光全面認識數學問題.學生出現思維單一的情況，與我們教師平時在教學中過分注重復習鋪墊、過分強調模型不無關系，當遇到一個新問題時，學生習慣了由教師暗示他，教師則習慣于幫助學生找準知識的生長點與連接點.因此，雖說我們的學生解題不少，但他們最擅長的是解決熟悉的問題，而一旦遇到找知識的生長點與連接點問題時，往往一籌莫展.因此，在教學過程中，所選擇的問題及安排的數學活動，不僅要適合學生現有的思維水平，還應考慮思維的進階水平.策略上，注重知識的內在邏輯結構，注重知識間的縱橫聯系，培養學生從多角度、運動變化觀點分析問題、解決問題，以鍛煉多向發散，尋求變異的能力，從而開闊學生的思路.

讀懂學生思維，教師關愛之心是前提，從關注自己的教轉向關注學生的學，從關注知識教學轉向知識思維融合教學.讀懂學生思維，需要專業知識能力，從了解學生思維方式到讀懂學生思維過程，從讀懂思維過程到借助支架訓練學生思維、指導學生思維、開發學生思維.讀懂學生思維，需要從學生成長的觀念思考，生長知識、生長方法、生長思維.