經典永流傳 改編現考場

☉安徽省阜陽市潁上縣八里河中心學校 程永康

一、案例1：2018年德州卷第12題

如圖1，等邊三角形ABC的邊長為4，點O是三角形ABC的中心，∠FOG=120°，繞點O旋轉∠FOG，分別交線段AB、BC于點D、E兩點，連接DE，給出下列四個結論：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四邊形ODBE的面積始終等于；④△BDE周長的最小值為6.上述結論中正確的個數是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

圖1

圖2

圖3

圖4

1.解析

（1）下面給出證明OD=OE的思路.

思路1：如圖2，連接OB、OC，證明△ODB △OEC，全等的條件是ASA.

思路2：如圖3，過點O作OH⊥AB，OI⊥BC，證明△OHD △OIE，全等的條件是AAS.

思路3：如圖4，根據條件發現點O、D、B、E四點共圓，又∠OBD=∠OBC，所以OD=OE，條件是：在同圓或等圓中，等角對等弦.

（2）下面給出四邊形ODBE面積的求解思路.

1.1 研究對象 納入 2018年1月至 6月在海軍軍醫大學（第二軍醫大學）長海醫院心血管內科行冠狀動脈造影檢查的老年患者 345例。納入標準：住院患者，年齡≥60 歲，性別不限，接受冠狀動脈造影術檢查；排除標準：1 個月內曾服用腎毒性藥物，碘過敏，腎動脈狹窄，休克，急性腎功能衰竭，血液透析，惡性腫瘤，配合度差，冠狀動脈造影證實為擴張性心肌病、肥厚性心肌病等疾病，以及臨床資料不全的患者。本研究已通過海軍軍醫大學（第二軍醫大學）長海醫院醫學倫理委員會審批。

思路1：如圖2，S四邊形ODBE=S△OBC；

思路2：如圖3，S四邊形ODBE=S四邊形OHBI=2S△OBI.

（3）最后給出△BDE周長最小值的求法.

根據前面的結論，易得△BDE中BD和BE兩條邊的和為4，只需求出邊DE的最小值即可.

思路1：在等腰三角形ODE中，易得DE=2OD·sin60°=而OD的最小值易求，即為OH的長度（如圖3）；

思路2：可以在三角形DBE中根據余弦定理，然后構造二次函數，進而可得DE的最小值（其中可設DB=x，所以BE=4-x，而∠B=60°，即cos60

2.賞析

此題以等邊三角形為載體（實質上只是一層“外衣”），綜合考查了初中階段的核心知識，比如三角形的全等、割補法求四邊形的面積、最值問題、等腰三角形、四點共圓等.這個問題在教材和往年其他地區的中考試題中多次出現（比如2017年陜西卷第14題、2017年濱州卷第11題、2017年臨沂市第25題等，限于篇幅，不具體呈現，讀者可自行查閱），只要一線教師教學中能夠抓住此類問題的本質即可：對角互補且有一組鄰邊相等（一條對角線是其中一個內角的角平分線）的四邊形.只要一個四邊形，滿足上述兩個條件，就可以命制類似的試題，這應該就是此類問題的“深層結構”（如圖5，四邊形ABCD對角互補，且BD平分∠ABC或AD=CD）.

圖5

二、案例2：2018年北京卷第27題

如圖6，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH.

（1）求證：GF=GC；

（2）用等式表示線段BH與AE的數量關系，并證明.

1.解析

（1）下面給出第（1）問的證明思路.

圖6

圖7

（2）下面給出第（2）問的思路

思路1：如圖8，在AD上取點P，使AP=AE，連接EP，證明△DPE △EBH即可，條件是SAS，所以EP=HB，進而（說明：此時根據全等可得∠EBH=∠DPE=135°，進而∠CBH=45°，可得BH是正方形ABCD外角的角平分線）

圖8

圖9

思路2：如圖9，過點H作HI垂直于AB的延長線于點I，證明△DAE △EIH，條件是AAS.又由于AB=AD=IE，所以AE+EB=IB+EB，所以AE=IB.又AE=IH，所以IH=IB，進而得證.（說明：通過上述證明過程同樣可以說明BH是正方形ABCD的外角的角平分線）

2.賞析

此題是一道在經典試題基礎上進行的再次改編，它將初中階段兩個經典的基本圖形融合在一起，綜合考查了學生的基礎知識和基本技能，是一道難得的好題.

該題中的第一個基本圖形是“大角夾半角”的基本模型（如圖10），其有三個本質的條件：45°（符合半角），AD=CD，∠A=∠C=90°（符合二者互補即可），顯然此題還可以有更一般的推廣.

該題中的第二個基本圖形來自于教材習題（如圖11），它主要涉及如下三點：ED=EH，ED⊥EH，BH是正方形ABCD外角的角平分線，以上三點如果知道其中任意兩點都可以推出第三點，這應該是對本題較深的理解，只有這樣才能夠做到“以不變應萬變”.此外，此圖中相關的結論如果用“四點共圓（D、E、Q、C四點共圓）”來說明會更容易.最后，點E除了可以是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），還可以在AB的延長線或反向延長線上，同樣會有類似的結論.

圖10

圖11

經典永流傳.每年的中考試題會出現一些創新題，但這畢竟是少數，大多是以改編題為主，特別是基于經典問題的改編題，如上案例1和案例2，這是我們一線教師備考的一個方向，相信這是一種不錯的方式.

改編現考場.變式教學是我國數學教育的典型特點，改編的方式較多，特別是對于幾何的典型問題，可以變條件、變圖形、變結論、可以交換條件和結論等，只要學生掌握這些變式的方式，就可以實現“做一題、會一類、通一片”的目的，達到舉一反三、觸類旁通的效果.